Levi-Civita-Körper

Der Levi-Civita-Körper ist ein Körper, der von Tullio Levi-Civita erfunden wurde. Die reellen Zahlen bzw. die komplexen Zahlen sind ein Unterkörper des Levi-Civita-Körpers. Der Levi-Civita-Körper findet Anwendung in der effizienten symbolischen Berechnung von Werten von höheren Ableitungen von Funktionen.

Definition

Grundmenge des Körpers

Die Grundmenge des Levi-Civita-Körpers sind alle Funktionen $x:\mathbb{Q}\to ℝ$ (bzw. $x:\mathbb{Q}\to ℂ$), die einen linksendlichen Träger haben.

Notation

• So wie die reellen Zahlen mit $ℝ$ abgekürzt werden, kann man den Levi-Civita-Körper mit $ℛ$ oder mit $𝒞$ abkürzen, je nachdem, ob die Grundmenge aus reellen oder komplexen Funktionen besteht.
• Falls $x$ im Levi-Civita-Körper ist und einen nichtleeren Träger hat, so bezeichnet man mit $\lambda (x)$ das Minimum des Trägers, das wegen Linksendlichkeit existiert.
• Man schreibt für $x,y\in ℛ$ bzw. $x,y\in 𝒞$ und $r\in \mathbb{Q}$, dass $x{=}_{r}y:\iff \mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q},q\le r,x(q)=y(q)$.

Addition

Die Addition von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:

$(x+y)(q):=x(q)+y(q)$

Das additive Inverse lautet wie folgt:

$(-x)(q):=-x(q)$

Das Nullelement lautet:

$0(q):=0\in ℝ$ bzw. $0(q):=0\in ℂ$

Multiplikation

Die Multiplikation von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:

$(x\cdot y)(q):=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q_x,q_y\in \mathbb{Q}}{q=q_x+q_y}}x(q_x)\cdot y(q_y)$

Einselement

Das Einselement des Levi-Civita-Körpers ist die Funktion

$1(q)=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }q=0\\ 0& \text{sonst }\end{array}$.

Multiplikatives Inverses

Wenn $z$ ein Element des Levi-Civita-Körpers ist, so kann man ein multiplikatives Inverses wie folgt konstruieren: Man wählt $\tilde{z}(q)=z(q-a)\cdot \frac{1}{b}$, wobei $a\in \mathbb{Q}$ die kleinste Zahl mit $z(a)\ne 0$ ist und $b=z(a)$. Wenn der Träger von $\tilde{z}$ nur die 0 enthält, dann ist $(\tilde{z}{)}^{-1}=\tilde{z}$. Sonst ist $z=y+1$ für ein $y$ im Levi-Civita-Körper und man sucht erst nach einem $x$ mit $(x+1)\cdot (y+1)=1$. Man definiert die Folge $(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ durch $y_0=y$ und $y_{i+1}=-y\cdot y_i-y$. Dann erfüllt $x=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{y}_n$ die gewünschte Eigenschaft. Dann ist $(\tilde{z}{)}^{-1}=x+1$. Nun findet man das multiplikative Inverse von $z$ durch $z^{-1}(q)={\tilde{z}}^{-1}(q+a)\cdot \frac{1}{b}$.

Fixpunktsatz

Die obige Definition des multiplikativen Inversen ergibt sich aus dem Beweis des Fixpunktsatzes (siehe in der ersten Quelle), der garantiert, dass der Limes der Folge $(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ existiert und die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Der Fixpunktsatz lautet wie folgt:

Sei $q_M\in \mathbb{Q}$. Sei $M\subset ℛ$ bzw. $M\subset 𝒞$ die Menge der Elemente $x$, sodass $\lambda (x)\ge q_M$. Sei ferner $f:M\to ℛ$ bzw. $f:M\to 𝒞$ eine Funktion mit den Eigenschaften

• $f(M)\subset M$
• $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Q},k>0:\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in ℛ$ (bzw. $x_1,x_2\in 𝒞$) $:\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}:x_1{=}_q{x}_2\Rightarrow f(x_1){=}_{q+k}f(x_2)$

Dann existiert genau ein $x\in ℛ$ bzw. $x\in 𝒞$, sodass:

$x=f(x)$

Einbettung der reellen bzw. komplexen Zahlen

Um die reellen bzw. komplexen Zahlen in den Levi-Civita-Körper einzubetten, bedient man sich folgender Funktion:

$\mathrm{\Pi }:ℝ\to ℛ$ bzw. $\mathrm{\Pi }:ℂ\to 𝒞$

$\mathrm{\Pi }(x)(q)=\{\begin{array}{cc}x& \text{falls }q=0\\ 0& \text{sonst }\end{array}$.

Hierbei wird das Einselement von $ℝ$ bzw. $ℂ$ auf das Einselement von $ℛ$ bzw. $𝒞$ abgebildet. Ferner ist $\mathrm{\Pi }$ ein Homomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation. Daher können die reellen und komplexen Zahlen als Unterkörper des Levi-Civita-Körpers angesehen werden.

Ordnung des reellen Levi-Civita-Körpers

Seien $x,y\in ℛ$. Man sagt $x>y$, wenn $x-y\ne 0$ und $(x-y)(\lambda (x-y))>0$. Dadurch wird der Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen zu einem geordneten Körper.

Mit dieser Ordnung ist zum Beispiel die Zahl

$d(q)=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }q=1\\ 0& \text{sonst }\end{array}$

kleiner als jede positive reelle Zahl.

Das Archimedische Axiom ist für den Levi-Civita-Körper nicht erfüllt. Beispielsweise gilt $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:ϵ\in {ℝ}_{+}\Rightarrow n\cdot d<ϵ$.

Wurzeln

Bezüglich der oben definierten Multiplikation hat jedes $y\in 𝒞$ immer genau $n$ verschiedene $n$-te Wurzeln. Für ein $x\in ℛ$ existieren die folgenden Anzahlen von $n$-ten Wurzeln von $x$:

	n ungerade	n gerade
x negativ	1	0
x positiv	1	2
x null	1	1

Betrag

Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen

Sei $x\in ℛ$. Der Betrag von x ist definiert durch:

$|x|:=\{\begin{array}{cc}-x& \text{falls }x<0\\ x& \text{sonst }\end{array}$

Levi-Civita-Körper der komplexen Funktionen

Sei $x\in 𝒞,x=a+ib$, wobei $i$ die imaginäre Zahl ist. Der Betrag von x ist definiert durch:

$|x|:=\sqrt{a^2+b^2}$

Hierbei ist die Wurzel bezüglich der oben definierten Multiplikation des Levi-Civita-Körpers gemeint.

Halbnorm

Sei $r\in \mathbb{Q}$. Dann kann man die folgende Halbnorm auf dem Levi-Civita-Körper definieren:

$\Vert x{\Vert }_r=\underset{q\le r}{\sup }|x(q)|$,

wobei $|\cdot |$ der Betrag der reellen bzw. komplexen Zahlen ist.

Topologien

Ordnungstopologie

Sei $M\subset ℛ$ bzw. $M\subset 𝒞$. Sei

$O(x_0,ϵ):=\{x\in ℛ:|x-x_0|<ϵ\}$ bzw. $O(x_0,ϵ):=\{x\in 𝒞:|x-x_0|<ϵ\}$.

Für die Ordnungstopologie definiert man als offene Menge, sofern

$\mathrm{\forall }{x}_0\in M:\mathrm{\exists }ϵ>0:O(x_0,ϵ)\subset M$.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht $ℛ$ und $𝒞$ zu nichtzusammenhängenden Hausdorff-Räumen.
• Mit dieser Definition von offenen Mengen sind $ℛ$ und $𝒞$ keine lokalkompakten Räume.
• Auf $ℝ$ stimmt diese Topologie von $ℛ$ mit der diskreten Topologie überein.

Halbnormtopologie

Sei $\Vert \cdot {\Vert }_r$ die Halbnorm des Levi-Civita-Körpers. Sei $M\subset ℛ$ bzw. $M\subset 𝒞$. Sei

$S(x_0,ϵ):=\{x\in ℛ:\Vert x-x_0{\Vert }_{1/ϵ}<ϵ\}$.

Für die Halbnormtopologie definiert man M als offene Menge, sofern

$\mathrm{\forall }{x}_0\in M:\mathrm{\exists }ϵ>0:S(x_0,ϵ)\subset M$.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht $ℛ$ und $𝒞$ zu Hausdorff-Räumen mit abzählbaren Basen.
• Die durch sie definierte Topologie ist eingeschränkt auf die reellen bzw. komplexen Zahlen die Standardtopologie.

Derivation

Man kann auf dem Levi-Civita-Körper eine Derivation $\partial$ definieren:

$(\partial x)(q):=(q+1)x(q+1)$

Für diese Derivation gilt:

• $\partial 0=0$
• $\mathrm{\forall }x\in ℛ,x\ne 0:\lambda (\partial x)=\lambda (x)-1$

Anwendungen

Der Levi-Civita-Körper ermöglicht die effiziente Berechnung höherer Ableitungen von Funktionen wie zum Beispiel

$x\mapsto \frac{\sin (x^3+2x+1)+\frac{3+\cos (\sin (\ln |1+x|))}{\exp (\tanh (\sinh (\cosh (\frac{\sin (\cos (\tan (\exp (x))))}{\cos (\sin (\exp (\tan (x+2))))}))))}}{2+\sin (\sinh (\cos ({\tan }^{-1}(\ln (\exp (x)+x^2+3)))))}$.

Es gibt ein auf dem Levi-Civita-Körper basierendes Programm, welches den Wert der 19. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 innerhalb von weniger als einer Sekunde berechnet. Mathematica benötigt hingegen zur Berechnung des Wertes der 6. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 mehr als 6 Minuten.

Quellen

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