Lemma von Euklid

Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw. der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Proposition 30).

Das Lemma für natürliche Zahlen

Die zeitgenössische Übersetzung der klassischen Formulierung für natürliche oder ganze Zahlen lautet:

Teilt eine Primzahl $p$ ein Produkt $ab$, so auch einen (oder beide) der Faktoren.

Äquivalent dazu ist folgende Verallgemeinerung:

Teilt $n\in \mathbb{N}$ das Produkt $ab$ und ist teilerfremd zu einem der Faktoren, so teilt es den anderen.

Denn falls $n$ eine Primzahl ist, erhält man wieder die obere Fassung; ist $n$ zusammengesetzt, so gilt es für jeden seiner Primfaktoren und damit für $n$ selbst.

Beweis

Der Beweis des Lemmas kann klassisch als direkter Beweis geführt werden, er nutzt das Lemma von Bézout und argumentiert damit teilweise außerhalb der natürlichen Zahlen, die Aussage gilt aber offensichtlich auch eingeschränkt auf $\mathbb{N}$.

Seien $a,b\in \mathbb{Z}$ beliebig. Angenommen, eine Primzahl $p$ teilt das Produkt $ab$, aber nicht den Faktor $a$. Dann ist zu zeigen, dass $p$ ein Teiler von $b$ ist.

Aus der Annahme folgt insbesondere, dass $a$ und $p$ teilerfremd sind. Mit Bézout existieren dann zwei ganze Zahlen $s$ und $t$, sodass $sp+ta=1$ gilt. Diese Gleichung mit $b$ multipliziert und etwas umsortiert liefert

$p(sb)+(ab)t=b$.

Laut Annahme existiert ein $c\in \mathbb{Z}$ mit $ab=cp$, damit lässt sich $p$ auf der linken Seite der Gleichung ausklammern:

$p(sb+ct)=b$.

Also ist $p$ Faktor eines Produktes, das $b$ ergibt. Somit teilt es $b$, was zu zeigen war.

Anwendungen und Verallgemeinerung

Das Lemma von Euklid kommt indirekt in nahezu jeder Argumentation mittels Teilbarkeit vor, insbesondere bei Primfaktorzerlegungen und dem euklidischen Algorithmus. Bei praktischen Rechenaufgaben spielt das Lemma selbst nur eine untergeordnete Rolle.

Das Lemma gilt auch für (kommutative) Hauptidealringe: Sei $H$ ein Hauptidealring, $a,b,p\in H$ und $p$ irreduzibel in $H$, dann gilt $p\mid ab\Rightarrow p\mid a\vee p\mid b$. Hierzu zeigt man die vermeintlich stärkere Aussage, dass das von einem irreduziblen Element $p$ erzeugte Hauptideal $⟨p⟩$ bereits ein maximales Ideal ist. In einem Hauptidealbereich fallen die Begriffe „Primideal“ und „maximales Ideal“ also zusammen.

Ist nämlich $M\subseteq H$ ein Ideal mit $⟨p⟩\subseteq M$, so gibt es ein $m\in H$ mit $M=⟨m⟩$. Aus $p\in M=⟨m⟩$ folgt also $p=mc$ für ein geeignetes $c\in H$. Da $p$ irreduzibel ist, ist $m$ ein Einheit oder $c$ eine Einheit von $H$. Also folgt $M=⟨m⟩=H$ oder $m$ und $p$ sind assoziiert und erzeugen dasselbe Hauptideal. Insgesamt erhält man also $M=H$ oder $M=⟨p⟩$, was nach Definition bedeutet, dass $⟨p⟩$ maximal ist.