Leibnizregel für Parameterintegrale

Die Leibnizregel für Parameterintegrale erlaubt die Berechnung der Ableitung eines Parameterintegrals nach seinem Parameter.

Definition

Gegeben sei das Parameterintegral

$F(t)=\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}f(t,x)\mathrm{d}x,$

wobei die Funktion $f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to ℝ$, $(t,x)\mapsto f(t,x)$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, $\frac{\partial }{\partial t}f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to ℝ$ ist und $a,b:(\alpha ,\beta )\to (c,d)$ stetig differenzierbar sind. Dann ist $F$ auf dem offenen Intervall $(\alpha ,\beta )$ stetig differenzierbar.

Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale:

$\frac{d}{dt}F(t)=f(t,b(t))b^{\prime }(t)-f(t,a(t))a^{\prime }(t)+\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}f(t,x)\mathrm{d}x.$

Herleitung

Zur Herleitung kann man die Funktion $G(t,u,v)={\int }_u^{v}f(t,x)\mathrm{d}x$ definieren und zeigen, dass sie auf $(\alpha ,\beta )\times (c,d)$ stetig differenzierbar ist: $\frac{\partial }{\partial t}G$ existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von $\frac{\partial }{\partial u}G$ und $\frac{\partial }{\partial v}G$ folgen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

$\begin{array}{cc}{F}^{\prime }(t)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G(t,a(t),b(t))=\frac{\partial }{\partial t}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+\frac{\partial }{\partial u}G(t,a(t),b(t))a^{\prime }(t)+\frac{\partial }{\partial v}G(t,a(t),b(t))b^{\prime }(t)\\ & =\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}f(t,x)\mathrm{d}x-f(t,a(t))a^{\prime }(t)+f(t,b(t))b^{\prime }(t).\end{array}$

Anwendungen

Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.

Weblinks

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