Laser-Linienbreite

Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

Theorie

Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

Die erste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle war ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Vorlage:Lang“ (auf Deutsch: Mikrowellen-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung). Genauer gesagt war es der Ammoniak-Maser, der auf einer Wellenlänge von 12,5 mm emittiert, welcher 1954 von Gordon, Zeiger und Townes erstmals betrieben wurde. Ein Jahr später leiteten dieselben Autoren theoretisch die Maser-Linienbreite her, indem sie die sinnvollen Näherungen machten, dass ihr Ammoniak-Maser

(i) im Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „Vorlage:Lang“, cw) arbeitet,

(ii) ein ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt, und

(iii) keine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste durch die Spiegel.

Bemerkenswerterweise basiert diese Herleitung auf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt die Ammoniak-Moleküle als Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen keine quantisierten Felder oder Quantenfluktuationen). Daraus resultiert die halbe Halbwertsbreite (englisch: „Vorlage:Lang“, HWHM) der Maser-Emission

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{M}}^{*}=\frac{4\pi k_{\mathrm{B}}T(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}^{*}{)}^2}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\iff \mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{M}}=\frac{2\pi k_{\mathrm{B}}T(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}{)}^2}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}},$

die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „Vorlage:Lang“, FWHM) $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{M}}=2\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{M}}^{*}$ der Maser-Emission umgerechnet wird. $k_{\mathrm{B}}$ ist die Boltzmann-Konstante, $T$ ist die Temperatur, $P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}$ ist die Ausgangsleistung des Lasers, und $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}^{*}$ und $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=2\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}^{*}$ sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.

Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde), transferierten Schawlow und Townes die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie $k_{\mathrm{B}}T$ durch die Photonenenergie $h{\nu }_{\mathrm{L}}$ ersetzten. $h$ ist Plancks Wirkungsquantum, und ${\nu }_{\mathrm{L}}$ ist die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass

(iv) während der Resonatorabklingzeit ${\tau }_{\mathrm{c}}$ ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,

und führt zur Schawlow-Townes-Linienbreite:

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L},\mathrm{S}\mathrm{T}}^{*}=\frac{4\pi h{\nu }_{\mathrm{L}}(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}^{*}{)}^2}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\iff \mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L},\mathrm{S}\mathrm{T}}=\frac{2\pi h{\nu }_{\mathrm{L}}(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}{)}^2}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}.$

Auch der Transfer vom Mikrowellen- zum optischen Spektralbereich beruht auf einer rein semi-klassischen Grundlage, ohne die Annahme von quantisierten Feldern oder Quanten-Fluktuationen. Daher basiert die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett auf semi-klassischen physikalischen Annahmen und ist eine vierfache Näherung einer allgemeineren Laser-Linienbreite, die im Folgenden hergeleitet wird.

Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonator der geometrischen Länge $\ell$, der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex $n$ hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.

Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit $c=c_0/n$ fort, wobei $c_0$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit $t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}$ und der freie Spektralbereich $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{R}}$ gegeben durch

$t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{R}}}=\frac{2\ell }{c}.$

Licht in der uns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert auf der q-ten Resonanzfrequenz

${\nu }_L=\frac{q}{t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}}=q\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{R}}.$

Die exponentielle Auskopplungszeit ${\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}$ ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen $R_i$ der beiden Resonator-Spiegel $i=1,2$ zu

$R_1{R}_2=e^{-t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}/{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\Rightarrow \frac{1}{{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}=\frac{-\ln (R_1{R}_2)}{t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}}.$

Die exponentielle intrinsische Verlustzeit ${\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/{\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}$ ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste $L_{\mathrm{R}\mathrm{T}}$ pro Resonator-Umlauf zu

$1-L_{\mathrm{R}\mathrm{T}}=e^{-t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}/{\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}}\Rightarrow \frac{1}{{\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}}=\frac{-\ln (1-L_{\mathrm{R}\mathrm{T}})}{t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}}.$

Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit ${\tau }_c$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/{\tau }_{\mathrm{c}}$ betragen somit

$\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}+\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}}=\frac{-\ln [R_1{R}_2(1-L_{\mathrm{R}\mathrm{T}})]}{t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}}.$

Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit $t_{\mathrm{R}\mathrm{T}}.$ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\ell$, $n$, $R_1$, $R_2$ und $L_{\mathrm{R}\mathrm{T}}$ und daher auch ${\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}$, ${\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}$ und ${\tau }_{\mathrm{c}}$ sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Neben der Resonatorabklingzeit ${\tau }_{\mathrm{c}}$ kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}$ der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit ${\tau }_{\mathrm{c}}$ in den Frequenzraum,

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\pi {\tau }_{\mathrm{c}}}.$

Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) $Q_{\mathrm{c}}$ ist definiert als die Energie $W_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}}$, die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie $W_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}$, die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,

$Q_{\mathrm{c}}=2\pi \frac{W_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}}(t)}{W_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)}=2\pi \frac{\phi (t)}{-\frac{1}{{\nu }_L}\frac{d}{dt}\phi (t)}=2\pi {\nu }_L{\tau }_{\mathrm{c}}=\frac{{\nu }_L}{\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}},$

wobei $\phi =W_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}}/h{\nu }_L$ die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit ${\tau }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}$ und die Kohärenzlänge ${\ell }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}$ des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichung

${\tau }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=\frac{1}{c}{\ell }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=2{\tau }_{\mathrm{c}}.$

Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten $N_2$ und $N_1$ des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte ${\sigma }_{\mathrm{e}}$ und ${\sigma }_{\mathrm{a}}$ der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz ${\nu }_L$ ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz ${\nu }_L$ zu

$g={\sigma }_{\mathrm{e}}{N}_2-{\sigma }_{\mathrm{a}}{N}_1.$

Ein Wert $g>0$ bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz ${\nu }_L$, während ein Wert $g<0$ Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit ${\tau }_{\mathrm{L}}$, mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:

$\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{L}}}=\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}-cg.$

Die anderen vier Eigenschaften der spektralen Kohärenz der aktiven Resonator-Mode erhält man in derselben Weise wie für die passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt sich durch Fourier-Transformation in den Frequenzraum,

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{1}{2\pi {\tau }_{\mathrm{L}}}.$

Ein Wert $g>0$ führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert $g<0$ zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgt

$Q_{\mathrm{L}}=2\pi \frac{W_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}}(t)}{W_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}(t)}=2\pi \frac{\phi (t)}{-\frac{1}{{\nu }_L}\frac{d}{dt}\phi (t)}=2\pi {\nu }_L{\tau }_{\mathrm{L}}=\frac{{\nu }_L}{\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}}.$

Die Kohärenzzeit und -länge betragen

${\tau }_{\mathrm{L}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=\frac{1}{c}{\ell }_{\mathrm{L}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=2{\tau }_{\mathrm{L}}.$

Spektraler Kohärenzfaktor

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor $\mathrm{\Lambda }$ eingeführt:

$\mathrm{\Lambda }:=\frac{1}{1-cg{\tau }_{\mathrm{c}}}.$

Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor $\mathrm{\Lambda }$:

${\tau }_{\mathrm{L}}=\mathrm{\Lambda }{\tau }_{\mathrm{c}},(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}{)}^{-1}=\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}{)}^{-1},Q_{\mathrm{L}}=\mathrm{\Lambda }{Q}_{\mathrm{c}},{\tau }_{\mathrm{L}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=\mathrm{\Lambda }{\tau }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}},{\ell }_{\mathrm{L}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}=\mathrm{\Lambda }{\ell }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}}.$

Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

Für eine gegebene Zahl $\phi$ an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:

$R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}=cg\phi ,$

$R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}=\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}\phi .$

Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somit

$\mathrm{\Lambda }=\frac{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}}.$

Die Resonatorabklingzeit der lasenden Resonator-Mode beträgt

${\tau }_{\mathrm{L}}=\mathrm{\Lambda }{\tau }_{\mathrm{c}}=\frac{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{\tau }_{\mathrm{c}}.$

Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgt

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}.$

Diese fundamentale Linienbreite gilt für Laser mit beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- oder Drei-Niveau-Schema oder irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), im Betrieb unterhalb, an, und oberhalb der Laser-Schwelle, einer Verstärkung, die kleiner, gleich, oder größer als die Verluste ist, und in einem CW- oder transienten Laser-Regime.

Aus dieser Herleitung wird deutlich, dass die fundamentale Linienbreite eines CW-Lasers auf dem semi-klassischen Effekt beruht, dass die Verstärkung die Resonatorabklingzeit verlängert.

Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

Die spontane Emissionsrate in die lasende Resonator-Mode hinein ist gegeben durch

$R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}=c{\sigma }_{\mathrm{e}}{N}_2.$

Es ist zu beachten, dass $R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}$ grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird. Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden. Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich als

$\frac{d}{dt}\phi =R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}+R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}-R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}=c{\sigma }_{\mathrm{e}}{N}_2+cg\phi -\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}\phi .$

Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist $d\phi /dt=0$. In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher ist

$R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}-R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}=-R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}<0.$

Die stimulierte Emissionsrate ist kleiner als die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste. Diese Tatsache ist seit Jahrzehnten bekannt und wurde dazu ausgenutzt, das Verhalten von Halbleiter-Lasern an der Laser-Schwelle quantitativ zu beschreiben. Selbst weit oberhalb der Laser-Schwelle ist die Verstärkung immer noch minimal kleiner als die Verluste. Es ist genau dieser extrem kleine Unterschied, der die endliche Linienbreite eines CW-Lasers hervorruft.

Aus dieser Herleitung wird klar, dass ein Laser grundlegend ein Verstärker spontaner Emission ist und die CW-Laser-Linienbreite durch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste. Auch in quantenoptischen Beschreibungen der Laser-Linienbreite, die auf der Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, kann gezeigt werden, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.

Schawlow-Townes-Näherung

Vorlage:Siehe auch Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}$, die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:

(i) Es ist ein reiner CW-Laser. Entsprechend gilt

$R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}=R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}\Rightarrow$

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}.$

(ii) Es ist ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend gilt

$N_1=0\Rightarrow cg=c({\sigma }_{\mathrm{e}}{N}_2-{\sigma }_{\mathrm{a}}{N}_1)=c{\sigma }_{\mathrm{e}}{N}_2=R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}\Rightarrow$

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{cg}{\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}\phi }\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}.$

(iii) Intrinsische Resonator-Verluste sind vernachlässigbar. Entsprechend gilt

$\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}}}=0\Rightarrow \frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\Rightarrow P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}=h{\nu }_{\mathrm{L}}\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\phi =h{\nu }_{\mathrm{L}}\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}\phi \Rightarrow$

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{cg}{\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}\phi }\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{cgh{\nu }_{\mathrm{L}}}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}.$

(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit ${\tau }_{\mathrm{c}}$ durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor $\mathrm{\Lambda }$, die Photonenzahl $\phi$ in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung $P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}$ unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend gilt

$R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}=R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}\Rightarrow R_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}}=cg=\frac{1}{{\tau }_{\mathrm{c}}}=2\pi \mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}\Rightarrow$

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{cgh{\nu }_{\mathrm{L}}}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{2\pi h{\nu }_{\mathrm{L}}(\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}{)}^2}{P_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}}=\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L},\mathrm{S}\mathrm{T}}.$

Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden, auf die fundamentale Laser-Linienbreite $\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}$ anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.

Zusammenfassend lautet die fundamentale Laser-Linienbreite

$\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{L}}=\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}-R_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}}\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=(1-cg{\tau }_{\mathrm{c}})\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}=\mathrm{\Delta }{\nu }_{\mathrm{c}}-\frac{cg}{2\pi },$

während die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite und daher hauptsächlich von historischer Bedeutung ist.

Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

Nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1958 wurde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung auf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals mit demselben Namen bezeichnet, nämlich der Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch ist in der publizierten Literatur zur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, da oft unklar ist, welche Erweiterung der ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung die jeweiligen Autoren betrachten oder benutzen.

Einige semi-klassische Erweiterungen hatten zum Ziel, eine oder mehrere der oben genannten Näherungen (i)-(iv) zu eliminieren, wodurch diese erweiterten Gleichungen der oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite in ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.

Folgende mögliche Erweiterungen der fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:

1. Hempstead und Lax, sowie unabhängig Hermann Haken, sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.
2. Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern. Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird. Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Moden und Polarizationsmoden. Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.
3. Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken. Daher wird manchmal der sogenannte „Henry-$\alpha$-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

Messung der Laser-Linienbreite

Eine der ersten Methoden zur Messung der spektralen Kohärenz eines Lasers war die Interferometrie. Eine typische Methode zur Messung der Laser-Linienbreite ist selbst-heterodyne Interferometrie.

Dauerstrich-Laser

Seltenerd-dotierte dielektrische oder Halbleiter-basierte Laser mit verteilter Rückkopplung durch integrierte Bragg-Spiegel haben typische Linienbreiten in der Größenordnung von 1 kHz. Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser kann weit weniger als 1 kHz betragen. Beobachtete Linienbreiten sind größer als die fundamentale Laser-Linienbreite, da technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen der optischen oder elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- und Längenänderungen aufgrund von Temperaturschwankungen usw.).