Langleys Problem

Langleys Problem oder auch Langleys hinzukommende Winkel (englisch: Langley's Problem oder Langley’s Adventitious Angles) ist eine Aufgabenstellung aus der Elementargeometrie, die von Edward Mann Langley 1922 in der Mathematical Gazette veröffentlicht wurde. Sie erwies sich seitdem als populär und fand eine weite Verbreitung in Aufgabensammlungen und Mathematikbüchern. Der Mathematiker Ross Honsberger bezeichnete sie in seinem Buch Mathematische Juwelen als „Dauerbrenner“.

Aufgabe

Die exakte Aufgabenstellung variiert in der Literatur, manchmal wird sie anhand eines Vierecks anstatt eines Dreiecks gestellt oder es werden die Winkelangaben abgeändert. Die Originalaufgabe von Langley lautet wie folgt:

$\mathrm{△}ABC$ ist ein gleichschenkliges Dreieck dessen Winkel in $B$ und $C$ je $80^{\circ }$ betragen. $F$ ist ein Punkt auf der Seite $AB$ so dass $\mathrm{\angle }ACF=30^{\circ }$ gilt und $E$ ein Punkt auf der Seite $AC$ so dass $\mathrm{\angle }ABE=20^{\circ }$ gilt.
Beweise, dass nun $\mathrm{\angle }BEF=30^{\circ }$ gilt.

Lösung

Hilsfslinien gestrichelt, alle roten Strecken sind gleich lang

Bereits die Veröffentlichung Langleys führte zu einer Vielzahl von Leserbriefen mit Lösungen des Problems. Die Webseite Cut The Knot des Mathematikers Alexander Bogomolny (1948–2018) beschreibt zwölf verschiedene Beweise für die Originalaufgabe. Die folgende Lösung, die ohne trigonometrisches Hilfsmittel auskommt, orientiert sich an der Darstellung bei Heinrich Hemme und geht auf J. W. Mercer zurück, der sie 1923 in einem Leserbrief an die Mathematical Gazette beschrieb. Sie führt zwei Hilfslinien ein und verwendet dann die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke, um die benötigten Hilfswinkel zu berechnen.

Man trägt in $B$ einen Winkel von $20^{\circ }$ an der Seite $BC$ ab, dessen zweiter Schenkel die Seite $AC$ in $G$ schneidet und verbindet dann den Punkt $G$ mit dem Punkt $F$. Mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck und der Nebenwinkeleigenschaft lassen sich nun die folgenden Winkel berechnen:

$\mathrm{\angle }BGC=180^{\circ }-20^{\circ }-80^{\circ }=80^{\circ }$

$\mathrm{\angle }BCF=80^{\circ }-30^{\circ }=50^{\circ }$

$\mathrm{\angle }BFC=180^{\circ }-80^{\circ }-50^{\circ }=50^{\circ }$

$\mathrm{\angle }GBE=80^{\circ }-20^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }$

$\mathrm{\angle }BGE=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$

$\mathrm{\angle }BEC=180^{\circ }-80^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$

Aufgrund gleich großer Basiswinkel sind somit die Dreiecke $\mathrm{△}BCG$, $\mathrm{△}BCF$ und $\mathrm{△}BGF$ gleichschenklig und damit die Stecken $BC$, $BG$, $GE$ und $BF$ gleich lang. Damit ist auch das Dreieck $\mathrm{△}BGF$ gleichschenklig und da für den Winkel $\mathrm{\angle }BGF=80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }$ gilt, ist es sogar gleichseitig. Also sind die Strecken $GF$ und $GE$ gleich lang und damit das Dreieck $\mathrm{△}GEF$ ebenfalls gleichschenklig. Es folgt:

$\mathrm{\angle }FGE=100^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$

$\mathrm{\angle }FEG=\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=70^{\circ }$

$\mathrm{\angle }BEF=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }◻$

Literatur

• Heinrich Hemme: Das Hexen-1x1. 100 mathematische Rätsel mit ausführlichen Lösungen. Anaconda Verlag, 2020, S. 43, 118–20
• Ross Honsberger: Mathematische Juwelen. Vieweg, 1982, ISBN 9783322872654, S. 14–15
• D. A. Q.: Last Words on Adventitious Angles. In: The Mathematical Gazette. Band 62, Nr. 421 (Okt., 1978), S. 174–183 (JSTOR)
• Colin Tripp: Adventitious Angles. In: The Mathematical Gazette, Band 59, Nr. 408 (Jun., 1975), S. 98–106 (JSTOR)
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, 1967, S. 26,159
• David Darling: The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons, 2004, ISBN 9780471270478, S. 180
• Edward Mann Langley: 644. A Problem. In: The Mathematical Gazette, Band 11, Nr. 160 (Oct., 1922), S. 173 (JSTOR)
• Problems and Solutions. In: The Mathematical Gazette, Band 11, Nr. 164 (Mai, 1923), S. 321–323 (JSTOR)

Weblinks

• The 80-80-20 Triangle auf cut-the-knot.org
• Angular Angst auf mathpages.com
• Tom Rike: An Intriguing Geometry Problem (archiviert), Berkeley Math Circle, 5. Mai 2002.