Lagrange-Identität (Randwertprobleme)

Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

Definition

Die Lagrange-Identität für die Funktionen $\varphi$, $\psi$ aus der Differentiationsklasse $\varphi ,\psi \in C^2((a,b),ℝ)$ und den Koeffizientenfunktionen $w,q\in C^0((a,b),ℝ)$, $p\in C^1((a,b),ℝ)$ und $p,q>0$ ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator

$ℒ=\frac{1}{w}(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+q)$

für den gilt:

$\begin{array}{cc}\varphi ℒ\psi -\psi ℒ\varphi & =\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p(\varphi {\psi }^{\prime }-\psi {\varphi }^{\prime }))\\ & =\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(pW(\varphi ,\psi ))\end{array}$

wobei $W(\varphi ,\psi )$ die Wronski-Determinante der Funktionen $\varphi ,\psi$ bedeutet.

Herleitung

Sei $ℒ$ ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:

$\varphi ℒ\psi =\varphi \frac{-1}{w}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)-q\psi ),$

und

$\psi ℒ\varphi =\psi \frac{-1}{w}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right)-q\varphi ).$

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:

$\varphi ℒ\psi -\psi ℒ\varphi =\varphi \frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)-\psi \frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right).$

Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term $\frac{-1}{w}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen $\varphi \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\varphi \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)-\left(p\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}$ und $\psi \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\psi \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right)-\left(p\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}$. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

$\begin{array}{cc}\varphi ℒ\psi -\psi ℒ\varphi & =\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\varphi \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\right)-\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p\psi \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x}\right)\\ \\ & =\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(p(\varphi \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}-\psi \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}x})\right)\\ \\ & =\frac{-1}{w}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(pW(\varphi ,\psi )).\\ \end{array}$

Literatur

• Vorlage:Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2