L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell $(X,𝒜,(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$ sowie eine Verlustfunktion $L(\cdot ;\cdot )$. Es sei

$R_{P_{{\vartheta }_0}}(\vartheta ,S)=\underset{X}{\int }L(g(\vartheta );S)\mathrm{d}{P}_{{\vartheta }_0}$

das Risiko des Punktschätzers $S$ an der Stelle $\vartheta$, gemessen bezüglich $P_{{\vartheta }_0}$

Dann heißt ein Schätzer $S$ L-unverfälscht, wenn für alle ${\vartheta }_0\in \mathrm{\Theta }$ gilt:

$R_{P_{{\vartheta }_0}}({\vartheta }_0,S)\le R_{P_{{\vartheta }_0}}(\vartheta ,S)$   für alle   $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit $P_{{\vartheta }_0}$, näher an dem Wert $g({\vartheta }_0)$ als an jedem weiteren Wert $g(\vartheta )$.

Beispiele

Gauß-Verlust

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

$L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a{)}^2$,

so ist $S\in L^2((P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$ (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ ein erwartungstreuer Schätzer für $g$ ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

$L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|$,

so ist $S$ genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$

$P_{\vartheta }(S\ge g(\vartheta ))\ge \frac{1}{2}$   und   $P_{\vartheta }(S\le g(\vartheta ))\ge \frac{1}{2}$.

Literatur

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