Kurvenkomplex

In der Mathematik ist der Kurvenkomplex einer Fläche ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Abbildungsklassengruppe der Fläche.

Definition

Zu einer Fläche $S$ wird ein abstrakter Simplizialkomplex $𝒞(S)$ assoziiert. Er ist durch die folgenden Daten gegeben.

0-Simplizes: Jeder Isotopieklasse wesentlicher einfacher geschlossener Kurven in $S$ entspricht eine Ecke in $𝒞(S)$.

1-Simplizes: Zwei Ecken in $𝒞(S)$ sind durch eine Kante verbunden, wenn für die Schnittzahl der entsprechenden Isotopieklassen von Kurven $a,b$ gilt $i(a,b)=0$.

k-Simplizes: $k+1$ Ecken spannen genau dann einen k-Simplex auf, wenn sie paarweise durch Kanten verbunden sind. $𝒞(S)$ ist also ein Fahnenkomplex.

Eigenschaften

• Für $S^2,S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}$ ist der Kurvenkomplex leer. Für $T^2,S_{1,1},S_{0,4}$ ist der Kurvenkomplex eine abzählbare Menge von 0-Simplizes.
• Für $3g+n\ge 5$ ist $𝒞(S_{g,n})$ zusammenhängend.
• Der Kurvenkomplex ist ein Gromov-hyperbolischer Raum. Außer für $S^2,S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}$ hat er unendlichen Durchmesser.

Anwendungen

• Aus dem Zusammenhang des Kurvenkomplexes folgt, dass die Abbildungsklassengruppe endlich erzeugt ist.
• Zwei Simplizes in $𝒞(S)$ bestimmen eine Heegaard-Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit. Die Zerlegung ist genau dann reduzibel, wenn die beiden Simplizes eine gemeinsame Ecke haben. Die Zerlegung ist schwach reduzibel, wenn die beiden Simplizes durch eine Kante verbunden sind.

Literatur

• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 online (pdf)
• Nikolai Ivanov: Mapping class groups. Handbook of geometric topology, 523–633, North-Holland, Amsterdam, 2002.

Weblinks

• Saul Schleimer: Notes on the complex of curves