Kunita-Watanabe-Ungleichung

In der Stochastik bezeichnet die Ungleichung von Kunita-Watanabe eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Integrale von stochastischen Prozessen. Die Ungleichung wurde 1967 von Hiroshi Kunita und Shinzō Watanabe bewiesen.

Aussage der Ungleichung

Seien $M$ und $N$ stetige lokale Martingale und $H$, $K$ messbare Prozesse. Dann gilt für $A\subseteq [0,\mathrm{\infty }]$

$\underset{A}{\int }\left|H_s\right|\left|K_s\right||\mathrm{d}⟨M,N{⟩}_s|\le \sqrt{\underset{A}{\int }{H}_s^2\mathrm{d}⟨M{⟩}_s}\sqrt{\underset{A}{\int }{K}_s^2\mathrm{d}⟨N{⟩}_s}$,

wobei die spitzen Klammern die quadratische Variation bezeichnen und das Integral im Sinne eines Stieltjes-Integral zu verstehen ist.

Literatur

• L. Rogers, David Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Band 2: Ito Calculus, Cambridge UP 2000
• Richard Durrett: Stochastic Calculus. An Introduction, CRC Press 1996