Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung $L/K$, so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Definition für Galoiserweiterungen

Es sei $L/K$ eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung $K\subseteq M\subseteq L$ auch die normale Hülle von $M$ enthält.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:

1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge

$\{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,[M:K]<\mathrm{\infty }\}$

der Galoisgruppen für über $K$ endliche Teilerweiterungen $M$.

2. Es gibt eine kanonische Bijektion

$G(L/K)=\underset{M}{\lim }G(M/K),$

wobei $M$ alle über $K$ endlichen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen $G(M/K)$ mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass $G(L/K)$ eine proendliche Gruppe ist.

Hauptsatz der Galoistheorie

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist $L/K$ eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ und abgeschlossenen Untergruppen von $G(L/K)$: Einer Erweiterung $M$ entspricht die Untergruppe

$G(L/M)\subseteq G(L/K),$

einer Untergruppe $U\subseteq G(L/K)$ die Erweiterung

$L^U=\{x\in L\mid \sigma x=x\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\sigma \in U\}.$

Eine Teilerweiterung $M/K$ ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn $G(L/M)$ ein Normalteiler in $G(L/K)$ ist; die Galoisgruppe $G(M/K)$ ist kanonisch isomorph zum Quotienten $G(L/K)/G(L/M)$.

Darstellungen

Es sei $K$ ein Körper und $K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}$ ein separabler Abschluss von $K$. Weiter sei $V$ ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von $G(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K)$ auf $V$ genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten $G(M/K)$ für eine endliche Erweiterung $M/K$ faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von $G(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K)$ ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen $G(M/K)$ für endliche Erweiterungen $M/K$.

Verallgemeinerung: Nicht algebraische Erweiterungen

Es sei $L/K$ eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe $\mathrm{Aut}(L/K)$ der Körperautomorphismen von $L$, die $K$ elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

$G(S)=\{\sigma \in \mathrm{Aut}(L/K)\mid \sigma s=s\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}s\in S\}$

für endliche Teilmengen $S\subseteq L$ eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. $\mathrm{Aut}(L/K)$ wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.