Kronecker-Symbol

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols $\left(\frac{n}{m}\right)$ auf beliebige ganzzahlige $m$. Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt und wird daher nach ihm benannt.

Definition

Es sei $m$ eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

$m=u\cdot p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k},$

wobei $u$ eine Einheit ist (d. h. $u=\pm 1$) und die $p_i$ Primzahlen bezeichnen. Ist $n$ eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol $\left(\frac{n}{m}\right)$ definiert durch

$\left(\frac{n}{m}\right)=\left(\frac{n}{u}\right)\prod _{i=1}^k{\left(\frac{n}{p_i}\right)}^{e_i}.$

Für ungerade $p_i$ ist die Zahl $\left(\frac{n}{p_i}\right)$ einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall $p_i=2$ ist getrennt zu betrachten. Wir definieren $\left(\frac{n}{2}\right)$ durch

$\left(\frac{n}{2}\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{falls }n\text{ gerade,}\\ 1& \text{falls }n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{falls }n\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$

Der Faktor $\left(\frac{n}{u}\right)$ in der Definitionsgleichung ist für $u=1$ gleich $1$ (Jacobi-Symbol). Für $u=-1$ definiert man

$\left(\frac{n}{-1}\right)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{falls }n<0,\\ 1& \text{falls }n\ge 0.\end{array}$

Schließlich setzt man noch

$\left(\frac{n}{0}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }n=\pm 1,\\ 0& \text{sonst.}\end{array}$

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen $n,m$ definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise $n\equiv 0,1mod4$ und $m>0$.

Für ungerades $m$ stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Eigenschaften

Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

• $\left(\frac{a}{n}\right)=\pm 1,$ falls $\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{T}(a,n)=1$, sonst $\left(\frac{a}{n}\right)=0$.
• $\left(\frac{ab}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right),$ außer wenn $n=-1$ gilt und eine der Zahlen $a,b$ gleich 0 ist und die andere negativ.
• $\left(\frac{a}{mn}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right)$, außer wenn $a=-1$ gilt und eine der Zahlen $m,n$ gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu $3mod4$ besitzt.
• Für $n>0$ gilt $\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right)$ wenn $a\equiv bmod\{\begin{array}{cc}4n,& \text{falls }n\equiv 2(\mathrm{mod}4),\\ n& \text{sonst.}\end{array}$ Wenn $a$ und $b$ das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für $n<0$.
• Für $a\equiv ̸3(\mathrm{mod}4)$, $a\ne 0$ gilt $\left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)$, wenn $m\equiv nmod\{\begin{array}{cc}4|a|,& \text{falls }a\equiv 2(\mathrm{mod}4),\\ |a|& \text{sonst.}\end{array}$

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades $n$ das Kronecker-Symbol $\left(\frac{a}{n}\right)$ Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob $a$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo $n$ ist.

Quadratische Reziprozität

Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl $n\ne 0$ bezeichne $n^{\prime }$ den ungeraden Anteil: $n=2^e{n}^{\prime }$ mit ungeradem $n^{\prime }$ (für $n=0$ wird $n^{\prime }=1$ gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen $m,n$:

$\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right)=\pm (-1{)}^{\frac{m^{\prime }-1}{2}\frac{n^{\prime }-1}{2}}$

Dabei gilt das Pluszeichen von $\pm$, falls $m\ge 0$ oder $n\ge 0$ zutrifft, und das Minuszeichen, falls $m<0$ und $n<0$.

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen $m,n$ richtig ist:

$\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{|m|}\right)=(-1{)}^{\frac{m^{\prime }-1}{2}\frac{n^{\prime }-1}{2}}.$

Für eine beliebige ganze Zahl $n$ sei $n^{*}=(-1{)}^{(n^{\prime }-1)/2}n$. Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

$\left(\frac{m^{*}}{n}\right)=\left(\frac{n}{|m|}\right)$

für beliebige ganze Zahlen $m,n$ (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl $n$ gilt

$\left(\frac{-1}{n}\right)=(-1{)}^{\frac{n^{\prime }-1}{2}},$

für eine beliebige ungerade ganze Zahl $n$

$\left(\frac{2}{n}\right)=(-1{)}^{\frac{n^2-1}{8}}.$

Weblinks

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