Kramers-Moyal-Entwicklung

Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße $\mathrm{\Delta }x$:

$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\frac{{\partial }^n}{\partial x^n}[a_n(x)p(x,t)]$

mit

$a_n(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\mathrm{\Delta }x{)}^{n}W(x,\mathrm{\Delta }x)\mathrm{d}(\mathrm{\Delta }x)$

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort $x$ abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit $p$. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum $\mathrm{\Delta }x=x-x^{\prime }$ und Zeit $\mathrm{\Delta }t$ betrachtet. $W(x,\mathrm{\Delta }x):=W(x^{\prime }|x)$ ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.

Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.

Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge.