Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe $G/N$ genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler $N$ umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet.

Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie

Es sei $\phi :G\to H$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern $N$. Dann ist die Zuordnung

$U\mapsto \phi (U)$

eine Bijektion zwischen der Menge aller $N$ umfassenden Untergruppen $U$ von $G$ auf die Menge aller Untergruppen von $H$.

$V\mapsto {\phi }^{-1}(V)$

ist die Umkehrabbildung. Die Untergruppen von $H$ korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von $G$, die $N$ enthalten. Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet.

Spezialisiert man diese Aussage auf $G/N\cong H$, so erhält man, dass die Untergruppen (bzw. Normalteiler) von $G/N$ genau diejenigen der Form $U/N$ sind mit einer Untergruppe (bzw. einem Normalteiler) $N\subset U\subset G$.

Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untergruppen $N\subset U_1,U_2\subset G$ gilt $U_1\subset U_2$ genau dann, wenn $U_1/N\subset U_2/N$.

Folgerung: Ein Normalteiler $N$ ist genau maximal unter allen Normalteilern von $G$, wenn $G/N$ einfach ist.

Korrespondenzsatz in der Ringtheorie

Es seien $R$ ein Ring mit Einselement und $𝔞\subset R$ ein zweiseitiges Ideal. Dann ist die Zuordnung

$𝔟\mapsto 𝔟/𝔞$

eine Bijektion von der Menge aller $𝔞$ umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in $R/𝔞$. Diese Zuordnung is monoton, das heißt für Linksideale $𝔞\subset 𝔟,{𝔟}^{\prime }\subset R$ gilt $𝔟\subset {𝔟}^{\prime }$ genau dann, wenn $𝔟/𝔞\subset {𝔟}^{\prime }/𝔞$

Korrespondenzsatz für Moduln

Es seien $M$ ein Links-R-Modul und $T\subset M$ ein Untermodul. Dann ist die Zuordnung

$S\mapsto S/T$

eine Bijektion von der Menge aller $T$ umfassenden Untermoduln $S\subset M$ auf die Menge aller Untermoduln von $M/T$. Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untermoduln $T\subset S,S^{\prime }\subset M$ gilt $S\subset S^{\prime }$ genau dann, wenn $S/T\subset S^{\prime }/T$.