Koordinatenfunktion

Als Koordinatenfunktion werden in der linearen Algebra, der Analysis und in der Topologie spezielle Funktionen bezeichnet, welche die $i$-te Komponente eines Tupels liefern, beispielsweise die Komponenten eines Spaltenvektors oder des Funktionswertes einer Abbildung.

Definition

Seien $a\in {ℝ}^n$ ein $n$-Tupel $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ und $i\in \{1,\dots ,n\}$.

Dann ist die $i$-te Koordinatenfunktion $f_i:{ℝ}^n\to ℝ$ definiert als

$f_i(a)=a_i$.

Definitionsmenge und Zielmenge für $f_i$ können je nach Kontext unterschiedlich definiert sein.

Beispiel

Der Übergang von kartesischen Koordinaten $x$ und $y$ zu Polarkoordinaten $r$ und $\phi$ wird durch die beiden Koordinatenfunktionen

$x(r,\phi )=r\cos \phi$ und

$y(r,\phi )=r\sin \phi$

beschrieben.

Topologie

Sei $\phi :U^{\phi }\to A^{\phi }$eine Karte auf einer Mannigfaltigkeit mit der Dimension $m$.

Für einen Punkt $p\in U^{\phi }$ ist dann $\phi (p)$ ein $m$-dimensionales Koordinatentupel in ${ℝ}^m$:

$\phi (p)=({\phi }^1(p),{\phi }^2(p),\dots ,{\phi }^m(p))$.

Es gibt für $\phi$ also insgesamt $m$ Koordinatenfunktionen ${\phi }^i,i\in \{1,\dots ,m\}$, die jeweils die $i$-te Koordinate für $\phi (p)$ liefern. Die hochgestellten Indizes sollten nicht mit Potenzen oder der Ableitung verwechselt werden.

Literatur

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