Koordinatenebene

Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum

Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundfläche eines kartesischen Koordinatensystems. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene.

Analytische Geometrie

Bezeichnungen

Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum

Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums ${ℝ}^3$ mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben $E$ gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

• die $x_1{x}_2$-Ebene $E_{12}$ wird von den Vektoren ${\overrightarrow{e}}_1$ und ${\overrightarrow{e}}_2$ aufgespannt
• die $x_1{x}_3$-Ebene $E_{13}$ wird von den Vektoren ${\overrightarrow{e}}_1$ und ${\overrightarrow{e}}_3$ aufgespannt
• die $x_2{x}_3$-Ebene $E_{23}$ wird von den Vektoren ${\overrightarrow{e}}_2$ und ${\overrightarrow{e}}_3$ aufgespannt

Hierbei sind die drei Einheitsvektoren ${\overrightarrow{e}}_1=(1,0,0)$, ${\overrightarrow{e}}_2=(0,1,0)$ und ${\overrightarrow{e}}_3=(0,0,1)$. Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung.

Ebenengleichungen

Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:

Koordinatenebene	Koordinatenform	Normalenform	Parameterform	Achsenabschnittsform
$E_{12}$	$x_3=0$	${\overrightarrow{e}}_3\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_2$	nicht definiert
$E_{13}$	$x_2=0$	${\overrightarrow{e}}_2\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_3$	nicht definiert
$E_{23}$	$x_1=0$	${\overrightarrow{e}}_1\cdot \overrightarrow{x}=0$	$\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_2+t{\overrightarrow{e}}_3$	nicht definiert

Hierbei sind $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3$ ein Punkt der jeweiligen Ebene, $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$ das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$ sowie $s$ und $t$ reelle Zahlen.

Darstellende Geometrie

In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.

Synthetische Geometrie

In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene, der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper, Quasikörper, Alternativkörper, Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.

Literatur

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