Kontragrediente Darstellung

In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.

Definition

Zu einer gegebenen Darstellung

$\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$

kann man die duale Darstellung

${\rho }^{*}:G\to \mathrm{GL}(V^{*})$

in den dualen Vektorraum $V^{*}$ definieren durch

$({\rho }^{*}(s)\nu )(v)=\nu (\rho (s^{-1})v)$

für alle $s\in G,v\in V$ und $\nu \in V^{*}.$

Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung $⟨\nu ,v⟩:=\nu (v)$ zwischen $V^{*}$ und $V:$

$⟨{\rho }^{*}(s)(\nu ),\rho (s)(v)⟩=⟨\nu ,v⟩$ für alle $s\in G,v\in V,\nu \in V^{*}.$

Darstellung durch Matrizen

Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird $\rho (g)$ durch eine Matrix $A$ und ${\rho }^{*}(g)$ durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also ${\rho }^{*}(g)=(A^T{)}^{-1}$.

Beweis: Sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$ und $v_1^{*},\dots ,v_n^{*}$ die duale Basis von $V^{*}$. Sei

$g{v}_i=\sum _j{a}_{ij}(g)v_j\in V$

und

$g{v}_j^{*}=\sum _i{b}_{ij}(g)v_i^{*}\in V^{*}$,

dann ist

$b_{ji}(g)=(g{v}_j{)}^{*}{v}_i=v_j^{*}(g^{-1}{v}_i)=v_j^{*}(\sum _k{a}_{ik}(g^{-1})v_k)=a_{ij}(g^{-1})$.

Unitäre Darstellungen

Wenn $\rho$ eine unitäre Darstellung ist, dann ist ${\rho }^{*}$ die komplex konjugierte Darstellung $\bar{\rho }$.

Beispiel

Sei $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ und sei $\rho :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to {\mathrm{GL}}_2(ℂ)$ die Darstellung von $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ definiert durch

$\rho (\bar{0})=\text{Id},\rho (\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\cos (\frac{2\pi }{3})& -\sin (\frac{2\pi }{3})\\ \sin (\frac{2\pi }{3})& \cos (\frac{2\pi }{3})\end{array}\right),\text{ und }\rho (\bar{2})=\left(\begin{array}{cc}\cos (\frac{4\pi }{3})& -\sin (\frac{4\pi }{3})\\ \sin (\frac{4\pi }{3})& \cos (\frac{4\pi }{3})\end{array}\right).$

Dann ist die duale Darstellung ${\rho }^{*}:\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{GL}(({ℂ}^2{)}^{*})$ gegeben durch:

${\rho }^{*}(\bar{0})=\text{Id},{\rho }^{*}(\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\cos (\frac{4\pi }{3})& \sin (\frac{4\pi }{3})\\ -\sin (\frac{4\pi }{3})& \cos (\frac{4\pi }{3})\end{array}\right),\text{ und }{\rho }^{*}(\bar{2})=\left(\begin{array}{cc}\cos (\frac{2\pi }{3})& \sin (\frac{2\pi }{3})\\ -\sin (\frac{2\pi }{3})& \cos (\frac{2\pi }{3})\end{array}\right).$

Literatur

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
• Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8