Konchoide von de Sluze

Konchoide von de Sluze für verschiedene $a$

Die Konchoide von de Sluze ist eine Schar von ebenen Kurven, die 1662 von René François Walther de Sluze untersucht wurde. In Polarkoordinaten wird sie wie folgt ausgedrückt:

$r=\sec \theta +a\cos \theta$

Der Sekans ist die Kehrwertfunktion des Kosinus.

Für kartesische Koordinaten $(x,y)$ gilt:

$(x-1)(x^2+y^2)=a{x}^2$

Die kartesische Form hat jedoch für $a=0$ einen Lösungspunkt $(0,0)$, der in der Polarkoordinatenform nicht vorhanden ist.

Diese Ausdrücke haben eine Asymptote $x=1$ (für $a\ne 0$). Der Punkt, der von der Asymptote a am weitesten entfernt liegt, ist $(1+a,0)$. In $(0,0)$ kreuzen sich Kurven für $a<-1$ selbst.

Die Fläche zwischen Kurve und der Asymptote berechnet sich wie folgt:

$|a|(1+a/4)\pi$ für $a\ge -1$

$(1-\frac{a}{2})\sqrt{-(a+1)}-a(2+\frac{a}{2})\arcsin \frac{1}{\sqrt{-a}}$ für $a<-1$

Die Fläche der Schleife ist

$(2+\frac{a}{2})a\arccos \frac{1}{\sqrt{-a}}+(1-\frac{a}{2})\sqrt{-(a+1)}$ für $a<-1$

Vier Kurven der Schar haben spezielle Namen:

• $a=0$, Gerade (Asymptote für die anderen Kurven der Schar)
• $a=-1$, Zissoide
• $a=-2$, rechte Strophoide
• $a=-4$, Trisektrix von Maclaurin

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