Kolm-Index

Der Kolm-Index ist ein Ungleichheitsmaß zur Beschreibung der absoluten Konzentration, das nach dem französischen Ökonomen und Ökonometriker Serge-Christophe Kolm benannt ist.

Definition

Sei $N$ die Anzahl der Einkommen, so dass $N=n\cdot m$ gilt. Hierbei gibt $n$ die Anzahl verschiedener Einkommen an und jedes Einkommen hat $m$ Empfänger (Einkommensbezieher). Die Zahl gleicher Paare mit einem gegebenen Einkommen beträgt:

$\frac{m\cdot (m-1)}{2}$

und die Gesamtanzahl gleicher Einkommen wäre:

$\frac{n\cdot m\cdot (m-1)}{2}.$

Offensichtlich wäre die Gesamtzahl aller Paare:

$\frac{N\cdot (N-1)}{2}-\frac{n\cdot m\cdot (n\cdot m-1)}{2}.$

Dabei kann man an einen ‚Gleichheitsindex‘ in der Form des Terms:

$\frac{n\cdot m\cdot (m-1)}{n\cdot m(n\cdot m-1)}=\frac{m-1}{N-1}$

denken. Folglich errechnet sich das Ungleichheitsmaß durch Subtraktion von $1$:

$\frac{1-(m-1)}{N-1}-\frac{N-m}{N-1}=\frac{m\cdot (n-1)}{n\cdot m-1}=\frac{n\cdot m-m}{n\cdot m-1}.$

Wenn das Einkommen $x_1$ $f_i$ Bezieher hat, lautet der Index wie folgt:

$K=1-\frac{\sum f_i^2-N}{N\cdot (N-1)}=\frac{N^2-\sum f_i^2}{N\cdot (N-1)}.$

Kolm definierte 1976 den Index folgendermaßen:

$K=\frac{1}{\kappa }\cdot \ln [\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{e}^{\kappa (\mu -y_i)}];\kappa >0,$

wobei $\kappa$ die Ungleichheitsaversion angibt.

Motivation

Kolms Intention, diesen kuriosen Index zu entwickeln, begründet sich seiner Meinung nach darin, sich eine Vorstellung davon zu bilden, dass viele simple (Rechen-)Wege bestehen, sich einem Ungleichverteilungsmaß zu nähern.

Literatur

• Serge-Christophe Kolm: Unequal inequalities I and II. Journal of Economic Theory 12 u. 13. 1976. S. 416–442 u. 82–111.
• Serge-Christophe Kolm: Intermediate measures of inequality. Technical report, CGPC, 1996.

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).