Kobordismuskategorie

In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie.

Es handelt sich um Kategorien ${𝒞}_d$ für $d\in \mathbb{N}$, deren Objekte die geschlossenen $(d-1)$-dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die $d$-dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.

Definition der Kategorie

Ein Objekt von ${𝒞}_d$ ist ein Paar $(M,a)$ mit $a\in ℝ$, so dass $M$ eine geschlossene, $(d-1)$-dimensionale $C^{\mathrm{\infty }}$-Untermannigfaltigkeit

$M\subset {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }}:={\mathrm{colim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{ℝ}^{d-1+n}$

ist.

Der Identitäts-Morphismus von $(M,a)$ ist das Tripel $(\left\{a\right\}\times M,a,a)$. Ein von der Identität verschiedener Morphismus von $(M_0,a_0)$ nach $(M_1,a_1)$ ist ein Tripel $(W,a_0,a_1)$ aus reellen Zahlen $a_0,a_1$ mit $a_0<a_1$ und einer $d$-dimensionalen kompakten $C^{\mathrm{\infty }}$-Untermannigfaltigkeit

$W\subset [a_0,a_1]\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }}$,

so dass es ein $ϵ>0$ gibt mit

$W\cap ([a_0,a_0+ϵ)\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})=[a_0,a_0+ϵ)\times M_0$,

$W\cap ((a_1-ϵ,a_1]\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})=(a_1-ϵ,a_1]\times M_1$,

$\partial W=W\cap (\{a_0,a_1\}\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})$.

Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung

$(W_1,a_0,a_1)\circ (W_2,a_1,a_2):=(W_1\cup W_2,a_0,a_2)$

von Teilmengen in $ℝ\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }}$ definiert.

Topologische Anreicherung der Kategorie

Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen

$\mathrm{ob}{𝒞}_d\cong ℝ\times \bigcup _M\mathrm{Emb}(M,{ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})/\mathrm{Diff}(M)$

und

$\mathrm{mor}{𝒞}_d\cong \mathrm{ob}{𝒞}_d\cup \bigcup _W{ℝ}_{+}^2\times \mathrm{Emb}(W,[0,1]\times {ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})/\mathrm{Diff}(W)$.

Dabei bezeichnet $\mathrm{Emb}(.,{ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})$ den Raum der Einbettungen in den ${ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }}$ mit der $C^{\mathrm{\infty }}$-Topologie. Die Diffeomorphismengruppe $Diff(.)$ wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum $\mathrm{Emb}(.,{ℝ}^{d-1+\mathrm{\infty }})/\mathrm{Diff}(.)$ wird mit der Quotiententopologie versehen.

Literatur

• Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
• Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.