Knaster-Kuratowski-Fan

Der Knaster-Kuratowski-Fan ist ein spezieller auf die Mathematiker Bronisław Knaster und Kazimierz Kuratowski zurückgehender topologischer Raum.^[1] Die Bezeichnung Fan, auf Deutsch Fächer, bezieht sich auf die geometrische Form als Unterraum der Ebene. Eine andere Bezeichnung ist Cantor-Teepee^[2], die in offensichtlicher Weise ebenfalls eine Anspielung auf die geometrische Form ist und gleichzeitig einen Hinweis auf die der Konstruktion zu Grunde liegenden Cantor-Menge beinhaltet. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Raum, der nach Entfernung eines Punktes total unzusammenhängend wird.

Konstruktion

Es sei $C \subset [0, 1]$ die Cantor-Menge, das heißt die Menge aller Punkte, die eine nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Dezimalentwicklung zur Basis 3 besitzen. $p$ sei der Punkt $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . Zu jedem $c \in C$ sei $\overline{c p}$ die Strecke, die $c$ mit $p$ verbindet. Für $c \in C$ sei nun

X_{c} : = {(x, y) \in \overline{c p} | y \in ℚ}

,

falls $c$ eine abbrechende, aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Entwicklung zur Basis 3 besitzt, und

X_{c} : = {(x, y) \in \overline{c p} | y \in ℝ ∖ ℚ}

für alle anderen $c \in C$ . Der Raum

X : = ⋃_{c \in C} X_{c} \subset ℝ^{2}

mit der von $ℝ^{2}$ induzierten Relativtopologie ist der Knaster-Kuratowski-Fan.

Der Unterraum $X ∖ {p}$ heißt punktierter Knaster-Kuratowski-Fan.

Eigenschaften

Der Knaster-Kuratowski Fan ist ein separabler, metrischer Raum, denn er ist ein Teilraum von $ℝ^{2}$ .
Der Knaster-Kuratowski Fan ist zusammenhängend. Ist nämlich $X = U \cup V$ mit disjunkten und offenen Mengen $U$ und $V$ , so muss eine der beiden Mengen $p$ enthalten. Dann kann man zeigen, dass diese Menge schon ganz $X$ sein muss.^[3]
Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan $X ∖ {p}$ ist total unzusammenhängend. Das liegt im Wesentlichen daran, dass man $X_{c_{1}} ∖ {p}$ und $X_{c_{2}} ∖ {p}$ für zwei verschiedene $c_{1} = c_{2}$ aus $C$ in $ℝ^{2}$ durch eine Gerade trennen kann. Zwischen $c_{1}$ und $c_{2}$ liegt nämlich ein Punkt $x \in [0, 1] ∖ C$ und die Gerade durch $x$ und $p$ leistet das Verlangte. Da jedes $X_{c} ∖ {p}$ für sich total unzusammenhängend ist, kann man schließen, dass $X ∖ {p}$ ist total unzusammenhängend ist.^[4]
Der Unterraum $X ∖ {p}$ ist nicht total separiert.^[5] Bekanntlich folgt total unzusammenhängend aus total separiert; wir haben hier also ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt.

Einzelnachweise

↑ B. Knaster, C. Kuratowski: Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae (1921), Band 2, Seiten 206–255
↑ Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 129
↑ Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.2
↑ Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.1
↑ Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.3

[1] B. Knaster, C. Kuratowski: Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae (1921), Band 2, Seiten 206–255

[2] Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 129

[3] Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.2

[4] Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.1

[5] Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.3

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[2]

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[4]

[5]

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