Knödel-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl $n$ eine zusammengesetzte Zahl $m$ mit der Eigenschaft, dass alle zu $m$ teilerfremden $i<m$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von $n$ wird mit $K_n$ bezeichnet.

Die Spezialfälle $K_1$ sind die Carmichael-Zahlen.

Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl zu $n:=m-\phi (m)$. Mit $\phi (m)$ ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.

Beispiele

Beispiel 1:

Sei $n:=4$ und $m:=12.$

Dann sind die Zahlen $i=1,5,7$ und $11$ zu $m=12$ teilerfremd. Es gilt:

$\begin{array}{ccccccc}{1}^{12-4}& =& 1& & & \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 5^{12-4}& =& 390625& =& 32552\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 7^{12-4}& =& 5764801& =& 480400\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 11^{12-4}& =& 214358881& =& 17863240\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\end{array}$

Somit erfüllen alle zu $m=12$ teilerfremden Zahlen $i$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$.

Also ist $m=12$ eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt $12\in K_4$.

Beispiel 2:

Sei $n:=4$ und $m:=14.$

Dann sind die Zahlen $i=1,3,5,9,11$ und $13$ zu $m=14$ teilerfremd. Es gilt:

$\begin{array}{ccccccccc}{1}^{14-4}& =& 1& & & & \equiv & 1& (\mathrm{mod}14)\\ 3^{14-4}& =& 59049& =& 4217\cdot 14& +11& \equiv & 11& (\mathrm{mod}14)\\ 5^{14-4}& =& 9765625& =& 697544\cdot 14& +9& \equiv & 9& (\mathrm{mod}14)\\ 9^{14-4}& =& 3486784401& =& 249056028\cdot 14& +9& \equiv & 9& (\mathrm{mod}14)\\ 11^{14-4}& =& 25937424601& =& 1852673185\cdot 14& +11& \equiv & 11& (\mathrm{mod}14)\\ 13^{14-4}& =& 137858491849& =& 9847035132\cdot 14& +1& \equiv & 1& (\mathrm{mod}14)\end{array}$

Somit erfüllen nicht alle zu $m=14$ teilerfremden Zahlen $i$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$.

Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei $i=3$ abbrechnen können. Also ist $m=14$ keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt $14\in ̸K_4$.

Beispiel 3:

Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen $K_1$ bis $K_{10}$:

n	Kn
1	{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … }	Vorlage:OEIS
2	{4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … }	Vorlage:OEIS
3	{9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … }	Vorlage:OEIS
4	{6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … }	Vorlage:OEIS
5	{25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … }	Vorlage:OEIS
6	{8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … }	Vorlage:OEIS
7	{15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … }	Vorlage:OEIS
8	{12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … }	Vorlage:OEIS
9	{21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … }	Vorlage:OEIS
10	{12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … }	Vorlage:OEIS

Literatur

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