Kinetische Monte-Carlo-Methode

Die kinetische Monte-Carlo-Methode ist eine hybride Monte-Carlo-Methode und besitzt als Input die Raten von Zustandsübergängen, womit (indirekt) die Zeit modelliert wird. Die kinematische Monte-Carlo-Methode und die dynamische Monte-Carlo-Methode sind weitgehend ident. Verwandt ist auch der Gillespie-Algorithmus.

Für die Phasenübergangsrate wird die sogenannte Mastergleichung verwendet:

$\frac{\mathrm{d}{𝒫}_{\alpha }(t)}{\mathrm{d}t}=(\sum _{\beta \ne \alpha }{W}_{\alpha \beta }\cdot {𝒫}_{\beta }(t))-\sum _{\beta \ne \alpha }{W}_{\beta \alpha }\cdot {𝒫}_{\alpha }(t)$

Dabei sind P_α, P_β die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Konfigurationen α und β und W_αβ und W_βα die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten.

Zurückweisungslose kinetische Monte-Carlo-Simulation

Vorgangsweise bei der zurückweisungslosen kinetischen Monte-Carlo-Simulation:

1. Man definiert die Ausgangslage $k$ der Atome zum Zeitpunkt $t=0$
2. Von allen $N_k$ möglichen Übergängen in den nächsten Zustand $i$ werden die Übergangsraten $r_{k,i}\ge 0$ berechnet, wobei für Übergänge, die nicht eintreten, $r_{k,i}=0$ gilt.
3. Man bildet die Partialsumme $R_{k,i}$ der Übergangsraten: $R_{k,i}=\sum _{j=1}^i{r}_{k,j}$. Die Gesamtsumme der Übergangsraten ist $Q_k=R_{k,N_k}=\sum _{j=1}^{N_k}{r}_{k,j}$.
4. Die Zustände werden mit einer Wahrscheinlichkeit von $0\le \frac{r_{k,i}}{Q_k}\le 1$ angenommen.
   • Man bestimmt eine Zufallszahl $0<\alpha \le 1$, es wird jener Übergang $r_{k,i}$ gewählt, für den gilt: $R_{k,i-1}<\alpha \cdot Q_k\le R_{k,i}$
5. Die Zeit wird auf $t_i=t_k+\mathrm{\Delta }t$ gesetzt, mit $\mathrm{\Delta }t=\frac{\ln (1/a)}{Q_k},$ wobei $a$ eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist.
6. Man wiederholt die Schritte 2–5, bis das Abbruchkriterium erfüllt ist.