Kettenwurzel

Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form

${({({(p_1^a+p_2)}^a+p_3)}^a+p_4)}^a+\cdots$,

wobei $0<a<1$ und ${\left(p_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge positiver reeller Zahlen ist.

Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge ${\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit

$P_1=p_1^a$,

$P_2={(p_1^a+p_2)}^a$,

$P_3={({(p_1^a+p_2)}^a+p_3)}^a$,

$P_4={({({(p_1^a+p_2)}^a+p_3)}^a+p_4)}^a$, …

bilden.

Beispiele quadratischer Kettenwurzeln

Ist $a=\frac{1}{2}$, so sind $p_n^a$ Quadratwurzeln ($n\in \mathbb{N}$).

• Für $p_n=1$ ist

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\mathrm{\Phi }$

der Goldene Schnitt.

• Für $p_n=2$ gilt

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}=2$.

• Näherungsweise gilt:

Mit $p_n=n$:

$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\cdots }}}}\approx 1,757932757$

Mit $p_n=n^n$:

$\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{27+\sqrt{256+\cdots }}}}\approx 2,066176687$

Mit $p_n=n{!}^n$:

$\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{216+\sqrt{331776+\cdots }}}}\approx 2,618086580$

Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge ${\left(p_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.

Konvergenzkriterium

Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge ${\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel ${({({(p_1^a+p_2)}^a+p_3)}^a+p_4)}^a+\cdots$ und der Folge ${\left(p_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ positiver reeller Zahlen ($n\in \mathbb{N}$).

Dann konvergiert ${\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ genau dann, wenn es eine reelle Zahl $C$ gibt mit

$a^n\log p_n\le C$.

Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.

Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen

Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen

Konvergenzvergleich der Kettenwurzel-Folgen nach dem Konvergenzkriterium für verschiedene Folgen ${\left(p_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Da in den ersten beiden Beispielen die Folge ${\left(p_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ jeweils konstante Glieder $p_n=p$ hat, tritt für beliebiges $n\in \mathbb{N}$ jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert $x>0$ von ${\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf. Somit lässt sich $x$ jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:

Im ersten Beispiel:

$x=\sqrt{1+x}\iff x^2=1+x\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\mathrm{\Phi }$

Im zweiten Beispiel:

$x=\sqrt{2+x}\iff x^2=2+x\iff x^2-x-2=0\iff x=2$

Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen

Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen $1$ bzw. $2$ durch $p\in \mathbb{N}$, so ergibt sich analog:

$x=\sqrt{p+x}\iff x^2=p+x\iff x^2-x-p=0\iff x=\frac{1+\sqrt{4p+1}}{2}$

Für $p=6$ ist beispielsweise $x=3$ der nächste ganzzahlige Grenzwert.

Literatur

• Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhäuser Verlag, Basel 1986
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band 2, dritte Auflage, Stuttgart 1957, Seite 46
• Walter S. Sizer: Continued roots Mathematics Magazine 59, 23–27 (1986), https://doi.org/10.1080/0025570X.1986.11977215

Weblinks

• Peter Kubach: Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach-mathe.de, abgerufen am 3. Mai 2023
• Hans Walser: Kettenwurzeln aus walser-h-m.ch, abgerufen am 3. Mai 2023