Kegelhülle

Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.

Definition

Gegeben sei ein $ℝ$-Vektorraum $V$ und $X$ eine beliebige Teilmenge von $V$. Dann heißt

$\mathrm{cone}(X):=\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{X\subseteq 𝒦}{𝒦\text{ Kegel }}}𝒦$

die Kegelhülle von $X$. Sie ist der kleinste Kegel, der $X$ enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

$\mathrm{cone}(X):=\{\lambda x|x\in X,\lambda \ge 0\}$.

Bemerkungen

• Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige $𝕂$-Vektorräume definieren, solange $𝕂$ ein geordneter Körper ist.
• Die Notation $\mathrm{cone}(X)$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise bezeichnet sie auch den kleinsten konvexen Kegel, der $X$ enthält und wird dann als konische Hülle oder positive Hülle bezeichnet.

Eigenschaften

• $\mathrm{cone}$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für $X,Y\subset V$

• $X\subset \mathrm{cone}(X)$,
• $X\subset Y⟹\mathrm{cone}(X)\subset \mathrm{cone}(Y)$,
• $\mathrm{cone}(\mathrm{cone}(X))=\mathrm{cone}(X)$.

• Ist $\mathrm{conv}(X)$ die konvexe Hülle von $X$ und $\mathrm{pos}(X)$ die konische Hülle, so gilt

$\mathrm{cone}(\mathrm{conv}(X))=\mathrm{conv}(\mathrm{cone}(X))=\mathrm{pos}(X)$.

• Insbesondere ist die Kegelhülle einer konvexen Menge ein konvexer Kegel.

Beispiele

Gegeben seien die beiden Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

Dann ist

$\mathrm{cone}(v_1,v_2)={\lambda }_1\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\cup {\lambda }_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$

Betrachtet man den Vektorraum der $2\times 2$ Matrizen sowie als Menge $X$ aller Drehmatrizen

$R_{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$,

so ist $\mathrm{cone}(X)$ der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben

$\mathrm{cone}(X)=\left(\begin{array}{cc}\lambda \cos \alpha & -\lambda \sin \alpha \\ \lambda \sin \alpha & \lambda \cos \alpha \end{array}\right),\lambda \ge 0$.

Literatur

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