Kato-Ungleichung

Die Kato-Ungleichung ist in der Funktionalanalysis eine Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren. Sie wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tosio Kato bewiesen.

Wir behandeln hier den Fall für den Laplace-Operator, wie sie bei Haïm Brezis und Wolfgang Arendt zu finden ist. Die ursprüngliche Ungleichung gilt allgemeiner für gewisse degenerierte elliptische Operatoren.

Aussage

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^d$ eine beschränkte, offene Menge und $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$, so dass $\mathrm{\Delta }f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{\Omega })$. Dann gilt

$\mathrm{\Delta }|f|\ge \mathrm{Re}((\mathrm{sgn}\bar{f})\mathrm{\Delta }f)$ in ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$,

wobei

$\mathrm{sgn}\bar{f}=\{\begin{array}{cc}\frac{\overline{f(x)}}{|f(x)|}& \text{falls }f\ne 0\\ 0& \text{falls }f=0.\end{array}$

$L_{\mathrm{loc}}^1$ ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

Erläuterungen

• Die Ungleichung wird manchmal auch in folgender Form

$\mathrm{\Delta }{f}^{+}\ge \mathrm{Re}\left(1_{[f\ge 0]}\mathrm{\Delta }f\right)$ in ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$

dargestellt, wobei $f^{+}=\max (f,0)$ und $1_{[f\ge 0]}$ die Indikatorfunktion ist.

• Falls $f$ stetig in $\mathrm{\Omega }$ ist, dann folgt

$\mathrm{\Delta }|f|\ge \mathrm{Re}((\mathrm{sgn}\bar{f})\mathrm{\Delta }f)$ in ${𝒟}^{\prime }(\{f\ne 0\})$.

Literatur

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