Kan-Erweiterung

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung $?\circ F=X$ sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien $𝒜$, $ℬ$ und $𝒞$ Kategorien, $L,X,F$ und $M$ Funktoren und $\sigma$ und $\alpha$ natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X:𝒜\to 𝒞$ entlang eines Funktors $F:𝒜\to ℬ$ ist ein Paar $(L:ℬ\to 𝒞,\epsilon :X\to L\circ F)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M:ℬ\to 𝒞$ und jedes $\alpha :X\to M\circ F$ gibt es genau ein $\sigma :L\to M$ mit ${\sigma }_F\circ \epsilon =\alpha$, wobei ${\sigma }_F(A)=\sigma (F(A))$.

Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien $𝒜$, $ℬ$ und $𝒞$ Kategorien, $R,X.F$ und $M$ Funktoren und $\delta$ und $\mu$ natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X:𝒜\to 𝒞$ entlang eines Funktors $F:𝒜\to ℬ$ ist ein Paar $(R:ℬ\to 𝒞,\eta :R\circ F\to X)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M:ℬ\to 𝒞$ und jedes $\mu :M\circ F\to X$ gibt es genau ein $\delta :M\to R$ mit $\eta \circ {\delta }_F=\mu$, wobei ${\delta }_F(A)=\delta (F(A))$.

Literatur

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