Irwin-Hall-Verteilung

Die Irwin-Hall-Verteilung, nach Joseph Oscar Irwin und Philip Hall benannt, ist die Verteilung der Summe von voneinander unabhängigen, im Intervall $[0,1]$ gleichverteilten Zufallsvariablen.

Die Dichtefunktion der Irwin-Hall-Verteilung für $n$ Summanden ist

$f_n(x)=\frac{1}{2(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-k{)}^{n-1}\mathrm{sgn}(x-k)$.

Tabelle der Verteilungsdichten

Diese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhängigen Zufallsvariablen, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind. Sie haben den Namen Irwin-Hall-Verteilung.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Verteilungsdichte	Bild
$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1& 0\le x\le 1\\ 0& x>1\end{array}$	Datei:Dichte einer Standardgleichverteilung.svg
$f_2(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 2-x& 1\le x\le 2\\ 0& x>2\end{array}$	Datei:Dichte der Summe von 2 Standardgleichverteilungen.svg
$f_3(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ \frac{x^2}{2}& 0\le x\le 1\\ -x^2+3x-\frac{3}{2}& 1\le x\le 2\\ \frac{(3-x{)}^2}{2}& 2\le x\le 3\\ 0& x>3\end{array}$	Datei:Dichte der Summe von 3 Standardgleichverteilungen.svg
$f_4(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ \frac{x^3}{6}& 0\le x\le 1\\ -\frac{x^3}{2}+2x^2-2x+\frac{2}{3}& 1\le x\le 2\\ \frac{x^3}{2}-4x^2+10x-\frac{22}{3}& 2\le x\le 3\\ \frac{(4-x{)}^3}{6}& 3\le x\le 4\\ 0& x>4\end{array}$	Datei:Dichte der Summe von 4 Standardgleichverteilungen.svg
$f_5(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ \frac{x^4}{24}& 0\le x\le 1\\ \frac{-5+20x-30x^2+20x^3-4x^4}{24}& 1\le x\le 2\\ \frac{155-300x+210x^2-60x^3+6x^4}{24}& 2\le x\le 3\\ \frac{-655+780x-330x^2+60x^3-4x^4}{24}& 3\le x\le 4\\ \frac{(5-x{)}^4}{24}& 4\le x\le 5\\ 0& x>5\end{array}$	Datei:Dichte der Summe von 5 Standardgleichverteilungen.svg
$f_6(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ \frac{x^5}{120}& 0\le x\le 1\\ \frac{6-30x+60x^2-60x^3+30x^4-5x^5}{120}& 1\le x\le 2\\ \frac{-237+585x-570x^2+270x^3-60x^4+5x^5}{60}& 2\le x\le 3\\ \frac{2193-3465x+2130x^2-630x^3+90x^4-5x^5}{60}& 3\le x\le 4\\ \frac{-10974+12270x-5340x^2+1140x^3-120x^4+5x^5}{120}& 4\le x\le 5\\ \frac{(6-x{)}^5}{120}& 5\le x\le 6\\ 0& x>6\end{array}$	Datei:Dichte der Summe von 6 Standardgleichverteilungen.svg

Herleitung

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{wenn }x\le 0\\ 1,& \text{wenn }x\in ]0,1]\\ 0,& \text{wenn }x>1\text{.}\end{array}$

Es sei

$f_k(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{wenn }x\le 0\\ f_{k,1}(x),& \text{wenn }x\in ]0,1]\\ \cdots \\ f_{k,j}(x),& \text{wenn }x\in ]j-1,j]\\ \cdots \\ f_{k,k}(x),& \text{wenn }x\in ]k-1,k]\\ 0,& \text{wenn }x>k\end{array}$

die Verteilungsdichte der Summe von $k$ standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also $f_{k,j}(x)$ die Verteilungsdichte der Summe von $k$ standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall $]j-1,j]$.

Im Folgenden bezeichne $Z_k$ eine Zufallsvariable, die gemäß $f_k$ verteilt ist. Gemäß der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich Folgendes: Für $x\in ]j-1,j]$ ist

$\begin{array}{cc}{f}_{k+1,j}(t)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k(t-x)\cdot f_1(x)dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_k(t-x)\cdot 1dx& & \text{Substitution: }y=t-x\\ & =\underset{t-1}{\overset{t}{\int }}{f}_k(y)dy\\ & =\underset{t-1}{\overset{j-1}{\int }}{f}_{k,j-1}(y)dy+\underset{j-1}{\overset{t}{\int }}{f}_{k,j}(y)dy.\end{array}$

Das heißt, der $j$-te Zweig der Verteilungsdichte $f_{k+1}$ ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von $f_k$.