Involut-Funktion

Die Involut-Funktion wird zur Berechnung bei Evolventenverzahnungen verwendet. Die Involut-Funktion ist definiert als:

$\mathrm{inv}(\alpha )=\tan (\alpha )-\alpha \text{mit}-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$

Beispiel:

$\mathrm{inv}(20^{\circ })=\tan (20^{\circ })-\frac{20^{\circ }\cdot \pi }{180^{\circ }}=\tan (20^{\circ })-\frac{\pi }{9}=0,014904384\dots =\mathrm{inv}\left(\frac{\pi }{9}\right)$

Siehe auch Evolvente.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Involut-Funktion sei im Folgenden mit ${\mathrm{inv}}^{-1}$ bezeichnet. Sie ist eine auf ganz $ℝ$ definierte, analytische Funktion, die streng monoton wachsend ist und deren Funktionsgraph punkt­symmetrisch zu (0,0) ist und betragsmäßig durch $\pi /2$ beschränkt ist (also ähnlich der reellen Arcustangensfunktion). Die Werte dieser Umkehrfunktion der Involut-Funktion kann man effizient iterativ bestimmen. Aus der Reihenentwicklung der Involut-Funktion

$\mathrm{inv}(\alpha )=\tan (\alpha )-\alpha =\frac{1}{3}{\alpha }^3+\frac{2}{15}{\alpha }^5+\frac{17}{315}{\alpha }^7+\dots$

lässt sich ableiten, dass für die inverse Involut-Funktion

$\alpha ={\mathrm{inv}}^{-1}(\tan (\alpha )-\alpha )=\sqrt[3]{3\mathrm{inv}(\alpha )}-\frac{2}{5}\mathrm{inv}(\alpha )+\mathrm{\Theta }(\mathrm{inv}(\alpha {)}^{\frac{5}{3}})\approx \sqrt[3]{3\mathrm{inv}(\alpha )}-\frac{2}{5}\mathrm{inv}(\alpha )$

eine akzeptable Näherung ist, falls $|\mathrm{inv}(\alpha )|$ genügend klein ist. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens lässt sich dieser Näherungswert für $\alpha$ weiter verbessern:

${\alpha }_{i+1}={\alpha }_i+\frac{\mathrm{inv}(\alpha )-\tan ({\alpha }_i)+{\alpha }_i}{\tan ({\alpha }_i{)}^2}\text{und}{\alpha }_0=\sqrt[3]{3\mathrm{inv}(\alpha )}-\frac{2}{5}\mathrm{inv}(\alpha )$

Ist $|\mathrm{inv}(\alpha )|>2$, sollte man als Startwert ${\alpha }_0=\arctan (\mathrm{inv}(\alpha ))$ wählen, damit obiges Newton-Verfahren auch konvergiert.