Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift $v>0$ und Streuungskoeffizient $\lambda >0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus $a>0$ invers normalverteilt mit den Parametern $(\frac{a}{v},\frac{a^2}{{\lambda }^2})$. Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\lambda }{2\pi x^3}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$ besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

$\mathrm{E}(X)=\mu$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\mathrm{Var}(X)=\frac{{\mu }^3}{\lambda }$.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

$\sigma =\sqrt{\frac{{\mu }^3}{\lambda }}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\mathrm{VarK}(X)=\sqrt{\frac{\mu }{\lambda }}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\mathrm{v}(X)=3\sqrt{\frac{\mu }{\lambda }}$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

${\beta }_2=\frac{15\mu }{\lambda }+3$.

Die Exzess-Kurtosis ist

${\gamma }_2={\beta }_2-3=\frac{15\mu }{\lambda }$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\varphi }_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}is}{\lambda }})}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

$m_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}s}{\lambda }})}$.

Reproduzierbarkeit

Sind $X_1,\dots ,X_n$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$, dann ist die Größe $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$.

Weblinks

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