Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand, auch kurz Quartilsabstand genannt und mit IQA oder IQR (nach der englischen Bezeichnung Vorlage:Lang) abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe $x_1,x_2,\dots ,x_n$ mit $n$ Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$.

Des Weiteren sei $x_{0,25}$ das untere Quartil und $x_{0,75}$ das obere Quartil. Diese sind definiert als

$x_{0,25}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(x_{n\cdot 0,25}+x_{n\cdot 0,25+1}),& \text{wenn }n\cdot 0,25\text{ ganzzahlig,}\\ x_{\lfloor n\cdot 0,25+1\rfloor },& \text{wenn }n\cdot 0,25\text{ nicht ganzzahlig.}\end{array}$ und $x_{0,75}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(x_{n\cdot 0,75}+x_{n\cdot 0,75+1}),& \text{wenn }n\cdot 0,75\text{ ganzzahlig,}\\ x_{\lfloor n\cdot 0,75+1\rfloor },& \text{wenn }n\cdot 0,75\text{ nicht ganzzahlig.}\end{array}$.

Hierbei bezeichnet $\lfloor x\rfloor$ die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl $x$ auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise $\lfloor 1,2\rfloor =1$ und $\lfloor 3,99\rfloor =3$.

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als

$\mathrm{IQA}=x_{0,75}-x_{0,25}$

und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.

Beispiel

Betrachte die Stichprobe

$25;28;4;28;19;3;9;17;29;29$

mit $n=10$ Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

$3;4;9;17;19;25;28;28;29;29$.

Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man $n\cdot 0,25=2,5$, was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

$x_{0,25}=x_{\lfloor n\cdot 0,25+1\rfloor }=x_{\lfloor 2,5+1\rfloor }=x_{\lfloor 3,5\rfloor }=x_3=9$.

Analog folgt

$x_{0,75}=x_{\lfloor n\cdot 0,75+1\rfloor }=x_{\lfloor 7,5+1\rfloor }=x_{\lfloor 8,5\rfloor }=x_8=28$.

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

$\mathrm{IQA}=x_{0,75}-x_{0,25}=28-9=19$.

Aufbauende Begriffe

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA oder QD (nach der englischen Bezeichnung Vorlage:Lang) abgekürzt wird. Er ist definiert als

$\mathrm{MQA}=\frac{1}{2}\mathrm{IQA}=\frac{1}{2}\left(x_{0,75}-x_{0,25}\right)$.

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

$\mathrm{MQA}=\frac{1}{2}\cdot 19=9,5$.