Innere Metrik

In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.

Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die zu $d$ assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik) $d_i$ ist definiert als

$d_i(x,y)=\inf L(\sigma )$

für $x,y\in X$, wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven $\sigma :[0,1]\to X$ mit $\sigma (0)=x,\sigma (1)=y$ genommen wird und $L(\sigma )$ die durch

$L(\sigma )=\sup \{\sum _{i=1}^{r}d(\sigma (t_{i-1}),\sigma (t_i))|0=t_0<t_1<\cdots <t_r=1,r\in \mathbb{N}\}$

definierte Länge der Kurve $\sigma$ ist.

Geodätische metrische Räume

Vorlage:Hauptartikel Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn $d=d_i$ ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik $d$ übereinstimmt.

Beispiele

• Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $d$ die durch

$d(x,y):=\inf \{L(\gamma )\mid \gamma :[0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}$

für $x,y\in M$ definierte Metrik. Wenn $(M,g)$ geodätisch vollständig ist, dann ist $d_i=d$. (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)

• Es sei $X={ℝ}^n$, $d(x,y)=|x-y|$ für $x,y\in {ℝ}^n$ und $S^{n-1}=\{x\in {ℝ}^n:d(x,0)=1\}$. Die Einschränkung von $d$ auf $S^{n-1}$ definiert einen metrischen Raum $(S^{n-1},d{|}_{S^{n-1}})$. Die assoziierte innere Metrik auf $S^{n-1}$ ist

$d_i(x,y)=\arccos (⟨x,y⟩)>d(x,y)\mathrm{\forall }x=y$.

Literatur

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
• A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005, 2nd ed. 2014.
• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

Weblinks

• Urs Lang: Length spaces.