Inhomogene lineare Differentialgleichung

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

$y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a(x),b(x)$, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

$y^{(n)}(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k(x)y^{(k)}(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a_0(x),\dots ,a_{n-1}(x),b(x)$. Die Funktion $b(x)$ wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

Lösung

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden:

Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem $y_1(x),\dots ,y_n(x)$ von $n$ Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung $y^{(n)}(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k(x)y^{(k)}(x)$. (Im Fall 1. Ordnung $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$ verwendet man nur eine Lösung der Gleichung $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)$.)

Dann wählt man den Ansatz $y(x)=\sum _{k=1}^n{c}_k(x)y_k(x)$ und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für die Konstanten $c_1(x),\dots ,c_n(x)$.

Beispiel 1

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=xy(x)+x{e}^{\frac{x^2}{2}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung $y^{\prime }(x)=xy(x)$ hat die Lösungen $y(x)=C{e}^{\frac{x^2}{2}}$.

Wir wählen deshalb den Ansatz

$y(x)=C(x)e^{\frac{x^2}{2}}$,

woraus sich für $C(x)$ die Differentialgleichung

$C^{\prime }(x)=x$

mit Lösung $C(x)=\frac{1}{2}{x}^2+D$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

$y(x)=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{\frac{x^2}{2}}+D{e}^{\frac{x^2}{2}}$.

Beispiel 2

Gegeben sei eine Differentialgleichung (DGL), wie sie z. B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

$x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=ax(t)$ hat folgende Lösung:

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0$

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante $x_0$ wird „variiert“ und im Folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

$x(t)=C(t)e^{a(t-t_0)}$

Ableitung mit Kettenregel:

$x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_0)}+C(t)a{e}^{a(t-t_0)}$

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit $e^{-a(t-t_0)}$nach $C^{\prime }(t)$ aufgelöst:

$C^{\prime }(t)e^{a(t-t_0)}+C(t)a{e}^{a(t-t_0)}=aC(t)e^{a(t-t_0)}+bu(t)$

$C^{\prime }(t)e^{a(t-t_0)}=bu(t)$

$C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_0)}$

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von $C(t)-C(t_0)$ ja $C^{\prime }(t)$ ergibt:

$C(t)-C(t_0)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_0)}d\tau$.

Auflösung nach $C(t)$ und Verwendung von $C(t_0)=x_0$:

$C(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_0)}d\tau +C(t_0)$

$C(t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_0)}d\tau$

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz $x(t)=C(t)e^{a(t-t_0)}$ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

$x(t)=(x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_0)}d\tau )\cdot e^{a(t-t_0)}$

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0+e^{a(t-t_0)}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_0)}d\tau$

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{a(t-t_0)}{e}^{-a(\tau -t_0)}d\tau$

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{at-a{t}_0}{e}^{-a\tau +a{t}_0)}d\tau$

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}bu(\tau )e^{a(t-\tau )}d\tau$

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0