Hypograph

In der Mathematik bezeichnet der Hypograph einer reellwertigen Funktion $f$ die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graphen liegen.

Definition

Sei $X \subset ℝ^{n}$ . Der Hypograph der Funktion $f : X \to ℝ$ ist definiert durch^[1]

hypo f : = {(x, μ) \in X \times ℝ : μ \leq f (x)} \subseteq X \times ℝ .

Ist der Bildraum der Funktion der $ℝ^{n}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung $≼_{K}$ , so ist der Hypograph definiert als

hypo f : = {(x, μ) \in X \times ℝ^{n} : μ ≼_{K} f (x)} \subseteq X \times ℝ^{n}

.

Sei $X \subset ℝ^{n}$ . Für Funktionen $f : X \to ℝ$ gilt:

$f$ ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
$f$ ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in $X$ .