Hyperbolisch eingebettete Untergruppe

In der geometrischen Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Begriff der hyperbolisch eingebetteten Familien von Untergruppen eine Verallgemeinerung der peripheralen Struktur relativ hyperbolischer Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Eine Familie von Untergruppen ${\left\{H_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ heißt hyperbolisch eingebettet, wenn es eine Teilmenge $X\subset G$ gibt, so dass gilt

• die Menge $X\cup \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{H}_{\lambda }$ ist ein Erzeugendensystem von $G$ und der zugehörige Cayley-Graph $\mathrm{\Gamma }(G,X\bigsqcup \mathscr{H})$ (mit der disjunkten Vereinigung $\mathscr{H}=⨆H_{\lambda }$) ist hyperbolisch, und
• für jedes $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ ist $(H_{\lambda },{\hat{d}}_{\lambda })$ ein eigentlicher metrischer Raum.

Dabei ist die Metrik $d_{\lambda }$ auf $H_{\lambda }$ definiert als die Länge kürzester Wege in $\mathrm{\Gamma }(G,X\cup \mathscr{H})$, die keine Kanten des Cayley-Graphen $\mathrm{\Gamma }(H_{\lambda },H_{\lambda })$ enthalten.

Man sagt in diesem Fall auch, dass $H$ in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet ist.

Beispiele

• Für jede Gruppe $G$ ist $G$ hyperbolisch eingebettet in $G$. Man kann $X=\mathrm{\varnothing }$ nehmen.
• Sei $G=H\times \mathbb{Z}$ und $X=\left\{1\right\}$ ein Erzeuger von $\mathbb{Z}$. Dann ist $\mathrm{\Gamma }(G,X\bigsqcup H)$ quasi-isometrisch zu $ℝ$ und deshalb hyperbolisch. Jedoch ist $\hat{d}(h_1,h_2)\le 3$ für alle $H_1,h_2\in H$. Wenn $H$ unendlich ist, ist $H$ damit nicht in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet.
• Sei $G=H*\mathbb{Z}$ und $X=\left\{1\right\}$ ein Erzeuger mit $\mathbb{Z}$. Dann ist $\mathrm{\Gamma }(G,X\bigsqcup H)$ quasi-isometrisch zu einem Baum und $\hat{d}(h_1,h_2)=\mathrm{\infty }$ für alle $h_1=h_2$. Damit ist $H$ in $(G,X)$ hyperbolisch eingebettet.
• Nach einem Satz von Dahmani-Guirardel-Osin ist $G$ genau dann hyperbolisch relativ zu ${\left\{H_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$, wenn es eine endliche Teilmenge $X\subset G$ gibt so, dass ${\left\{H_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ hyperbolisch in $(G,X)$ eingebettet ist.

Literatur

• F. Dahmani, V. Guirardel, D. Osin: Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces. Mem. Amer. Math. Soc. 1156, 2016