Hull-White-Modell

In der Finanzmathematik wird unter dem Hull-White-Modell ein spezielles Momentanzinsmodell zur Beschreibung von Zinsstrukturen verstanden. Es handelt sich um eine Erweiterung des Vasicek-Modell.

Das Modell wurde erstmals 1990 von den beiden Mathematikern John C. Hull und Alan White beschrieben.

Definition

Das Hull-White-Modell ist ein Momentanzinsmodell, welches den Momentanzins (engl. short rate) $r(t)$ modelliert. Es erfüllt in seiner allgemeinsten Fassung unter dem risikoneutralen Maß folgende stochastische Differentialgleichung:

$dr(t)=(\theta (t)-a(t)r(t))dt+\sigma (t)dW(t),r(0)=r_0\in ℝ$

Dabei handelt es sich bei $W(t)$ um einen Wiener-Prozess und bei $\theta (t),a(t)$ und $\sigma (t)$ um zeitabhängige Konstanten.

Aufgrund von Schwierigkeiten bei der Kalibrierung der Parameter, hat sich in der Praxis die Fassung des Modells durchgesetzt, bei der $a(t)=a$ und $\sigma (t)=\sigma$ als zeitunabhängig vorausgesetzt werden, sprich es gilt:

$dr(t)=(\theta (t)-ar(t))dt+\sigma dW(t),r(0)=r_0\in ℝ$.

Die Parameter $a$ und $\sigma$ lassen sich hierbei als Rückstellkraft bzw. als Volatilität des Prozesses interpretieren. $\theta (t)$ kann mit diesem Ansatz so gewählt werden, dass die durch das Modell induzierte Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt $t=0$ mit der am Markt beobachteten Zinsstrukturkurve übereinstimmt. Genauer gilt in diesem Fall

$\theta (t)=\frac{\partial f^M(0,t)}{\partial t}+a{f}^M(0,t)+\frac{{\sigma }^2}{2a}(1-e^{-2at})$,

wobei $f^M(0,t):=-\frac{\partial \ln (P^M(0,t))}{\partial t}$ die aktuell am Markt beobachtete instantaneous forward rate ist.

Eigenschaften

Lösung

Die oben angegebene stochastische Differentialgleichung kann mittels der Itō-Formel gelöst werden. Die Lösung mit Anpassung an den aktuellen Marktdaten lautet

$r(t)=\alpha (t)+\sigma \underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-a(t-u)}dW(u)$,

wobei $\alpha (t)=f^M(0,t)+\frac{{\sigma }^2}{2a^2}(1-e^{-at}{)}^2$.

Verteilung

$r(t)$ ist normalverteilt mit Erwartungswert

$E[r(t)]=\alpha (t)=f^M(0,t)+\frac{{\sigma }^2}{2a^2}(1-e^{-at}{)}^2$

und Varianz

$\mathrm{Var}[r(t)]=\frac{{\sigma }^2}{2a}[1-e^{-2at}]$.

Literatur

• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.