Hopf-Fläche

In der Mathematik ist die Hopf-Fläche eine gewisse 4-Mannigfaltigkeit. Sie wurde 1948 von Heinz Hopf gefunden als erstes Beispiel einer komplexen Fläche, die keine Kähler-Fläche ist.

Konstruktion

Die zyklische Gruppe $\mathbb{Z}$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf ${ℂ}^2\setminus \{(0,0)\}$, zum Beispiel durch

$n\cdot (z_1,z_2)=(2^n{z}_1,2^n{z}_2)$ für $n\in \mathbb{Z},(z_1,z_2)\in {ℂ}^2$.

Dann wird der Quotientenraum $\mathbb{Z}\mathrm{\setminus }({ℂ}^2\setminus \{(0,0)\})$ als Hopf-Fläche bezeichnet.

Eigenschaften

Eine Hopf-Fläche ist homöomorph zu $S^1\times S^3$, insbesondere kompakt. Sie ist eine komplexe Fläche. Weil die erste Betti-Zahl $b_1=1$ ungerade ist, kann sie keine Kähler-Metrik besitzen. Insbesondere ist sie keine algebraische Fläche.

Die Abbildung $[(z_1,z_2)]\to [z_1:z_2]$ definiert eine Faserung der Hopf-Fläche über der projektiven Gerade, deren Fasern elliptische Kurven sind.

Literatur

• H. Hopf: Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten. Studies Essays, pres. to R. Courant, 167–185 (1948).