Homothetische Funktionen

Homothetische Hyperbelfunktionen für $k=1,5$

Homothetische quadratische Funktionen für $k=0,5$

Homothetische trigonometrische Funktionen für $k=0,5$

Zwei auf $ℝ$ definierte reellwertige Funktionen $f$ und $g$ heißen homothetisch, wenn es eine positive reelle Konstante $k\ne 1$ gibt mit $g(kx)=kf(x)$.

Ersetzt man $x$ durch $\frac{x}{k}$, so erhält man die äquivalente Beziehung $g(x)=kf(\frac{x}{k})$.

Beispiele

Homothetische Hyperbelfunktionen

Zwei Hyperbelfunktionen mit den Gleichungen $f(x)=\frac{a}{x}$ und $g(x)=\frac{b}{x}$ $(a,b>0)$, deren Asymptoten senkrecht zueinander sind (rechtwinklige oder auch gleichseitige Hyperbeln), sind genau dann homothetisch, wenn $k=\sqrt{\frac{b}{a}}$ gilt.

$g(kx)=kf(x)\iff \frac{b}{kx}=k\cdot \frac{a}{x}\iff \frac{b}{k}=a\cdot k\iff k^2=\frac{b}{a}\iff k=\sqrt{\frac{b}{a}}$

Homothetische quadratische Funktionen

Zwei quadratische Funktionen mit den Gleichungen $f(x)=a{x}^2$ und $g(x)=b{x}^2$ $(a,b>0)$ sind genau dann homothetisch, wenn $k=\frac{a}{b}$ gilt.

$g(kx)=k\cdot f(x)\iff b(k{x}^2)=k\cdot a{x}^2\iff b{k}^2{x}^2=ka{x}^2\iff k=\frac{a}{b}$

Homothetische trigonometrische Funktionen

Die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=\sin (x)$ und $g(x)=\sin (x)\cos (x)$ sind homothetisch mit $k=\frac{1}{2}$, da gilt:

$g(x)=\sin (x)\cos (x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin (x)\cos (x)=\frac{1}{2}\cdot \sin (2x)=\frac{1}{2}\cdot f(2x)=\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)$

Homothetische lineare Funktionen

Jede lineare Funktion mit der Gleichung $f(x)=ax(a\in ℝ)$ ist homothetisch zu sich selbst (selbst-homothetisch).

$f(kx)=akx=kax=kf(x)$