Hilbert-Symbol

Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper $K$ mit der multiplikativen Gruppe $K^{*}$ ist es definiert als die folgende Abbildung:

$\begin{array}{cc}{K}^{*}\times K^{*}& \to \{-1,1\}\\ (a,b)& \mapsto \{\begin{array}{cc}1,& \text{falls}{z}^2=a{x}^2+b{y}^2\text{eine nicht}\text{-}\text{triviale Lsg.}(x,y,z)\in K^3\text{besitzt};\\ -1,& \text{sonst}\end{array}\end{array}$

Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn $x=y=z=0$ gilt.

Eigenschaften

• Ein Element $a$ in $K^{*}$ ist ein Quadrat genau dann, wenn $(a,b)=1$ für alle $b\in K^{*}$ gilt.
• Für alle $a,b$ in $K^{*}$ gilt: $(a,b)=(b,a)$.
• Für alle $a,b_1,b_2$ in $K^{*}$ gilt: $(a,b_1{b}_2)=(a,b_1)(a,b_2)$.
• Für alle $a$ in $K^{*}$ mit $a\ne 1$ gilt $(a,1-a)=1$.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: A course in arithmetic (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY u. a. 1973, ISBN 3-540-90040-3.

Weblinks

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