Higman-Sims-Gruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Higman-Sims-Gruppe eine einfache Gruppe mit 44352000 Elementen.

Konstruktion

Der Blockplan $S(22,6,3)$ besteht aus 22 Punkten und 77 Blöcken. Sei $M^0$ die Menge der Punkte und $M^1$ die Menge der Blöcke. Der Higman-Sims-Graph ist der Graph $\mathrm{\Gamma }$ mit Knoten $\{*\}\cup M^0\cup M^1$, wobei

• $*$ mit jedem Element aus $M^0$ durch eine Kante verbunden ist,
• $m\in M^0$ mit $b\in M^1$ genau dann durch eine Kante verbunden ist, wenn $m\in b$,
• $b_1,b_2\in M^1$ genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn $b_1\cap b_2=\mathrm{\varnothing }$,

und es keine weiteren Kanten gibt. Der Higman-Sims-Graph hat also 100 Knoten und 1100 Kanten.

Die Higman-Sims-Gruppe $HS:=Au{t}^{+}(\mathrm{\Gamma })$ ist definiert als Gruppe derjenigen Graphautomorphismen von $\mathrm{\Gamma }$, die eine gerade Permutation der Knoten von $\mathrm{\Gamma }$ induzieren.

Der Stabilisator von $*$ ist isomorph zur Mathieu-Gruppe $M_{22}$.

Literatur

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk