Hartley-Transformation

Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis – einem Teilgebiet der Mathematik – eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.

Definition

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

$H(\omega )=\mathscr{H}(f)(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\text{cas}(\omega t)\mathrm{d}t$

mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:

$\text{cas}(t)=\cos (t)+\sin (t)=\sqrt{2}\sin (t+\pi /4)=\sqrt{2}\cos (t-\pi /4)$

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor $\frac{1}{2\pi }$ auftritt.

Inverse Transformation

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

$f=\mathscr{H}(\mathscr{H}(f))$

Bezug zur Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation

$F(\omega )=ℱ(f)(\omega )$

weicht durch ihren komplexen Kern:

$\exp \left(-\mathrm{i}\omega t\right)=\cos (\omega t)-\mathrm{i}\sin (\omega t)$

mit der imaginären Einheit $\mathrm{i}$ von dem rein reellen Kern $\mathrm{cas}(\omega t)$ der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

$F(\omega )=\sqrt{2\pi }(\frac{H(\omega )+H(-\omega )}{2}-\mathrm{i}\frac{H(\omega )-H(-\omega )}{2})$

Der rote Korrekturfaktor $\sqrt{2\pi }$ verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Beziehungen des Hartley-Kerns

Für den „Hartley-Kern“ $\text{cas}(t)$ lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:

Das Additionstheorem:

$2\text{cas}(a+b)=\text{cas}(a)\text{cas}(b)+\text{cas}(-a)\text{cas}(b)+\text{cas}(a)\text{cas}(-b)-\text{cas}(-a)\text{cas}(-b)$

und

$\text{cas}(a+b)=\cos (a)\text{cas}(b)+\sin (a)\text{cas}(-b)=\cos (b)\text{cas}(a)+\sin (b)\text{cas}(-a)$

Die Ableitung ist gegeben als:

$\frac{\text{d cas}(a)}{\text{d }a}=\cos (a)-\sin (a)=\text{cas}(-a)$

Literatur

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