Harmonische Norm

In der Mathematik ist die harmonische Norm eine Norm auf der Kohomologie von Mannigfaltigkeiten.

Definition

Sei $M$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die harmonische Norm einer de-Rham-Kohomologie-Klasse ist definiert als die $L^2$-Norm des (nach dem Satz von Hodge) harmonischen Repräsentanten der Kohomologieklasse, äquivalent als das Infimum über die $L^2$-Norm geschlossener Differentialformen in der Kohomologieklasse. Dabei ist die $L^2$-Norm einer Differentialform $\alpha$ definiert durch

$\Vert \alpha {\Vert }_{L^2}=\underset{M}{\int }\alpha \wedge *\alpha$

mit dem Hodge-Stern-Operator $*$.

Beziehung zur Gromov-Norm

Für die Gromov-Norm $\Vert \alpha {\Vert }_1$ einer Homologieklasse $\alpha \in H_k(M)$ und die harmonische Norm der Poincaré-dualen Kohomologieklasse ${\alpha }^{*}$ gilt die Ungleichung

$\Vert \alpha {\Vert }_1\le k!(n-1{)}^k\sqrt{vol(M)}\Vert {\alpha }^{*}{\Vert }_{L^2}$,

wenn $M$ eine $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung $Ric\ge -(n-1)$ ist.

Umgekehrt lassen sich für negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs bei Homologieklassen nichtverschwindender Gromov-Norm obere Schranken für die harmonische Norm in Abhängigkeit vom Injektivitätsradius und der Gromov-Norm angeben.

Literatur

• N. Bergeron, M. H. Șengün, A. Venkatesh: Torsion homology growth and cycle complexity of arithmetic manifolds. Duke Math. J. 165, No. 9, 1629–1693 (2016).
• N. Dunfield, J. Brock: Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 210, No. 2, 531–558 (2017).
• C. Connell, S. Wang: Homological norms on nonpositively curved manifolds. Comment. Math. Helv. 97, No. 4, 801–825 (2022).