Hanner-Ungleichungen

Die Hanner-Ungleichungen stammen aus der Funktionalanalysis und sind Ungleichungen für L^p-Normen. Sie haben einige wichtige Konsequenzen, unter anderem dass die L^p-Räume für $1<p<\mathrm{\infty }$ gleichmäßig konvexe Räume sind.

Sie sind nach dem schwedischen Mathematiker Olof Hanner benannt.

Aussage

Seien $f,g\in L^p(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$. Falls $1\le p\le 2$, dann gilt

$\Vert f+g{\Vert }_p^p+\Vert f-g{\Vert }_p^p\ge (\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p{)}^p+|\Vert f{\Vert }_p-\Vert g{\Vert }_p{|}^p$

und

$2^p(\Vert f{\Vert }_p^p+\Vert g{\Vert }_p^p)\ge (\Vert f+g{\Vert }_p+\Vert f-g{\Vert }_p{)}^p+|\Vert f+g{\Vert }_p-\Vert f-g{\Vert }_p{|}^p$.

Falls $2\le p<\mathrm{\infty }$, dann sind die Ungleichungssymbole umgekehrt, das heißt aus $\ge$ wird $\le$.

Erläuterungen zu den Ungleichungen

Man erhält die zweite Ungleichung aus der ersten, wenn man die Substitution $f=f+g$ und $g=f-g$ durchführt. Denn dann wird die linke Seite $\Vert f+g{\Vert }_p^p+\Vert f-g{\Vert }_p^p$ zu

$\Vert (f+g)+(f-g){\Vert }_p^p+\Vert (f+g)-(f-g){\Vert }_p^p=\Vert 2f{\Vert }_p^p+\Vert 2g{\Vert }_p^p=2^p(\Vert f{\Vert }_p^p+\Vert g{\Vert }_p^p)$

und die rechte Seite formt man ähnlich um.

Für $p=2$ wird die Norm von einem Skalarprodukt induziert. In diesem Fall werden die Ungleichungen zu Gleichungen und sind äquivalent zu der Parallelogrammgleichung.

Siehe auch

• Ungleichungen von Clarkson