Hamiltonsche Gruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe dedekindsche Gruppe (nach Richard Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden hamiltonsche Gruppen genannt (nach William Rowan Hamilton).

Die hamiltonschen Gruppen können nach einem auf Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:

• Jede endliche hamiltonsche Gruppe $G$ ist von der Form $G\cong Q_8\times A\times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^n$, wobei
  • $Q_8$ die Quaternionengruppe ist,
  • $A$ eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
  • und $n\in {\mathbb{N}}_0$ ist.

Ist $n=0$, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe $A$ kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste hamiltonsche Gruppe und jede hamiltonsche Gruppe enthält einen zur Quaternionengruppe isomorphen direkten Faktor.

Demnach sind $Q_8\times Q_8$ und $Q_8\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ keine hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind $\{(q,q);q\in Q_8\}$ bzw. $\{(1,\bar{0}),(i,\bar{1}),(-1,\bar{2}),(-i,\bar{3})\}$ nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ und $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$ sei.

Weblinks

• Richard Dedekind: Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. In: Mathematische Annalen. Bd. 84, Nr. 4, 1897, S. 548–561, Digitalisat.