Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie)

Die Hamilton-Funktion in der Theorie der optimalen Steuerungen wurde von Lew Pontrjagin als Teil seines Maximumprinzips entwickelt. Sie ähnelt der Hamilton-Funktion der Mechanik, aber unterscheidet sich doch von ihr. Pontrjagin zeigte, dass eine notwendige Bedingung für das Lösen eines Optimalsteuerungsproblems ist, dass die gewählte Steuerung die Hamilton-Funktion minimieren muss.

Notation und Problemstellung

Eine Steuerung $u(t)$ soll so gewählt werden, dass folgendes Zielfunktional minimiert wird

$J(u)=\mathrm{\Psi }(x(T))+\underset{0}{\overset{T}{\int }}L(x,u,t)\mathrm{d}t$

wobei $x(t)$ den Zustand des Systems beschreibt, welcher sich gemäß der Differentialgleichungen

$\dot{x}=f(x,u,t)x(0)=x_{0}t\in [0,T]$

entwickelt, und die Steuerung $u(t)$ folgenden Einschränkungen genügen muss

$a\le u(t)\le bt\in [0,T].$

Des Weiteren ist $\mathrm{\Psi }(x(T))$ eine beliebige Funktion des Zielzustandes $x(T)$ nach der Zeit $T$ sowie $L(x,u,t)$ die Lagrangefunktion, welche die Dynamik des betrachteten Systems beschreibt.

Definition der Hamilton-Funktion

$H(x,\lambda ,u,t)={\lambda }^T(t)f(x,u,t)+L(x,u,t)$

wobei $\lambda (t)$ die Lagrange-Multiplikatoren sind, deren Komponenten die adjungierten Zustände beschreiben.

Literatur

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