Halbwinkelsatz

Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

Halbwinkelsätze in der Ebene

allgemeines Dreieck

• $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$
• $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$
• $\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$

wobei $s=\frac{a+b+c}{2}$

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

• $\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{s-a}{\rho }=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$

ist auch als Kotangenssatz bekannt. $\rho$ bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

• $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\sin (s-b)\sin (s-c)}{\sin b\sin c}}$
• $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\sin s\sin (s-a)}{\sin b\sin c}}$
• $\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\sin (s-b)\sin (s-c)}{\sin s\sin (s-a)}}$

wobei $s=\frac{a+b+c}{2}$