Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante

Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante ist eine mathematische Konstante, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Determinanten von zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.

Definition

Seien $N,M\in {\mathbb{Z}}^{n\times n}$ zwei quadratische, ganzzahlige $n\times n$-Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion

$D(n)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-(1-\prod _{j=1}^{n}1-p_k^{-j}{)}^2)$

beschrieben. Dabei bezeichnet $p_n$ die n-Primzahl.

Graph der D(n) Funktion

Insbesondere ist für zwei $1\times 1$-Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:

$D(1)=\frac{6}{{\pi }^2}=0,607927$. (OEIS A059956)

Weitere Werte

Die genauen Funktionswerte für $n\ge 2$ wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:

n	D(n)
2	0.453103
3	0.397276
4	0.373913
5	0.363321

Grenzwert

Für die Funktion $D(n)$ wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert

$\omega =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }D(n)=0,35323637185$ (A085849)

mit einer Approximationsgeschwindigkeit von $\sim 0,57^n$ bewiesen.

Literatur

• Finch, S. R. (2003), „§2.5 Hafner–Sarnak–McCurley Constant“, Mathematical Constants, Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 110–112, ISBN 0-521-81805-2
• Hafner, J. L.; Sarnak, P. & McCurley, K. (1993), „Relatively Prime Values of Polynomials“, in Knopp, M. & Seingorn, M. (eds.), A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, Providence, RI: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-5155-1
• Vardi, I. (1991), Computational Recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison–Wesley, ISBN 0-201-52989-0