Hadamard-Ungleichung

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei $M$ eine $(n\times n)$-Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren $m_1,\dots ,m_n$, dann gilt mit der Euklidischen Norm $\Vert \cdot {\Vert }_2$

$|\det M|\le \prod _{i=1}^n\Vert m_i{\Vert }_2.$

Mit der QR-Zerlegung $M=QR$ der Matrix $M$ gilt nämlich

$|\det M|=|\det Q|\cdot |\det R|=|\det R|\le \Vert r_1{\Vert }_2\cdot \dots \cdot \Vert r_n{\Vert }_2,$

wobei $\Vert r_i{\Vert }_2=\Vert Q{r}_i{\Vert }_2=\Vert m_i{\Vert }_2$ ist.

Geometrische Anschauung

Ist $M$ eine $(n\times n)$-Matrix mit reellen Einträgen, so ist $|\det (M)|$ das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren $m_i$ aufgespannten $n$-dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen $\prod _{i=1}^n\Vert m_i{\Vert }_2$ des $n$-dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen $\Vert m_i{\Vert }_2$.

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei $(R,|\cdot |)$ ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und $M$ eine $(n\times n)$-Matrix über $R$ mit den Zeilenvektoren $m_1,\dots ,m_n$. Dann gilt

$|\det M|\le \prod _{i=1}^n\Vert m_i{\Vert }_1$

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

• Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen $\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1$ die schärfere Abschätzung.
• Liegt ein Ring $R\subseteq ℂ$ mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur

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