Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt. Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens und insbesondere dann sinnvoll, wenn beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst vorliegen.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die beiden erhaltenen Terme gleichgesetzt. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die eine Variablen weniger als das ursprüngliche Gleichungssystem enthält. Durch Auflösen erhält man den oder die Werte der verbliebenen Variable und durch Einsetzen dieser Lösung(en) in eine der beiden Ausgangsgeichungen die zugehörigen Werte der zuvor eliminierten Variablen.

Beispiel

Es wird das folgende (nichtlineare) Gleichungssystem betrachtet:

$\begin{array}{cccc}& (1)& x+y& =3\\ & (2)& x\cdot y& =2\end{array}$

Umstellen

Die Gleichungen stellt man jeweils nach einer Variablen um, hier nach $x$. Für $y\ne 0$ erhält man folgende Gleichungen:

$\begin{array}{cccc}& (1^{\prime })& x& =3-y\\ & (2^{\prime })& x& =\frac{2}{y}\end{array}$

Gleichsetzen

Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Variable $y$ enthält:

$\begin{array}{cc}3-y& =\frac{2}{y}\end{array}$.

Lösen der entstandenen Gleichung

Bestimmen der y-Werte

$\begin{array}{cccc}3-y& =\frac{2}{y}& |& \cdot y\\ y(3-y)& =2& |& \text{ Klammer aufl}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ 3y-y^2& =2& |& -(3y-y^2)\\ 0& =y^2-3y+2& |& \text{ quadratische Gleichung in Normalform}\to \text{L}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ y_1& =1& & \\ y_2& =2& & \end{array}$

Man erhält hier zwei Lösungen für $y$, was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare $(x|y)$ haben kann.

Bestimmen der x-Werte

Die Lösungen für $y$ setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige $x$:

$\begin{array}{cc}{x}_1& =3-y_1=2\\ x_2& =3-y_2=1\\ \end{array}$

Zusammenfassung

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen $(x|y)$:

$𝕃=\{(2|1),(1|2)\}$

Siehe auch

• Einsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Literatur

• Duden (Hrsg.): Mathematik (= Basiswissen Schule.). 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6.

Weblinks

• Vorlage:Webarchiv im Online-Mathematikbuch.