Gitterförmige Verteilung

Gitterförmige Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen reellwertiger diskreter Zufallsvariablen, bei denen die Stellen, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, eine spezielle Struktur haben, die an ein Gitter erinnert.

Definition

Eine reellwertige diskrete Zufallsvariable $X$, für die es eine Menge

$M_{a,h}=\{a+zh\mid z\in \mathbb{Z}\}$

mit $a,h\in ℝ$ und $h>0$ gibt, so dass

$\mathrm{P}(X\in M_{a,h})=1$

gilt, heißt gitterförmig verteilt. Für eine gitterförmig verteilte Zufallsvariable gibt es ein größtes $h$, das Gitterkonstante heißt.

Beispiele

In den folgenden drei Fällen ist $X$ gitterförmig verteilt mit $a=0$ und Gitterkonstante $h=1$.

• $X$ sei eine Bernoulli-Variable mit dem Parameter $0<p<1$. Für $M:=\{0,1\}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm{P}(X\in M)=1$ und $\mathrm{P}(X=x)>0$ für alle $x\in M$.
• $X$ sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $0<p<1$ und $n\in \mathbb{N}$. Für $M:=\{0,1,\dots ,n\}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm{P}(X\in M)=1$ und $\mathrm{P}(X=x)>0$ für alle $x\in M$.
• $X$ sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Parameter $\lambda >0$. Für $M:=\{0,1,2,\dots \}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm{P}(X\in M)=1$ und $\mathrm{P}(X=x)>0$ für alle $x\in M$.

Für die Zufallsvariable $X$ mit $\mathrm{P}(X=1)=\mathrm{P}(X=10)=1/2$ ist $a=1$ und die Gitterkonstante ist $h=9$.

Eigenschaften

• Eine reellwertige Zufallsvariable ist genau dann gitterförmig verteilt, wenn der Betrag ihrer charakteristischen Funktion $t\mapsto {\phi }_X(t):=𝔼[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}tX}]$ an einer Stelle $t\ne 0$ den Wert Eins hat.
• Eine gitterförmige Verteilung hat genau dann die Gitterkonstante $h$, wenn

$|{\phi }_X(2\pi /h)|=1$

und

$|{\phi }_X(t)|<1\text{für alle }0<t<\frac{2\pi }{h}$

gilt.

Anwendung

Gitterförmige Verteilungen spielen eine besondere Rolle in der Theorie lokaler Grenzwertsätze.

Es sei $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit $\mathrm{P}(X_n\in \mathbb{Z})=1$ und Gitterkonstante 1, mit dem Erwartungswert $𝔼[X_n]=\mu$ und mit der endlichen und positiven Varianz $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X_n]={\sigma }^2$. Dann hat die Zufallsvariable $S_n:=\sum _{i=1}^n{X}_i$ den Erwartungswert $𝔼[S_n]={\mu }_n:=n\mu$ und die Varianz $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[S_n]={\sigma }_n^2=n{\sigma }^2$. Es gilt dann der lokale Grenzwertsatz von Gnedenko

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}(\mathrm{P}(S_n=m)-{\phi }_{{\mu }_n,{\sigma }_n^2}(m))=0,m\in \mathbb{Z}.$

Dabei bezeichnet ${\phi }_{\mu ,{\sigma }^2}$ die Dichtefunktion einer Normalverteilung $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$. Die Konvergenz gilt gleichmäßig bezüglich $m$.

Literatur

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