Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes $q$ und der Geschwindigkeit $\dot{q}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion $L$ nach der Geschwindigkeit:

$p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j},j=1\dots n$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator $\hat{p}$ ersetzt:

$p_j\to {\hat{p}}_j=-\hslash i\frac{\partial }{\partial x_j}$

Beispiele

Klassische Bewegung

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(𝐱,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=\frac{1}{2}m{\dot{𝐱}}^2-V(𝐱,t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

$𝐩=m\dot{𝐱}$

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(r,\phi ,z,t)$ in Zylinderkoordinaten

$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2)-V(r,\phi ,z,t)$

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:

$p_{\dot{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{r}^2\dot{\phi }$

• Bei Bewegung einer Punktladung $q$ mit Masse $m$ im elektromagnetischen Feld ($\varphi$ ist das elektrische Potential)

$L=\frac{1}{2}m{\dot{𝐱}}^2-q\varphi (t,𝐱)+q\dot{𝐱}\cdot 𝐀(t,𝐱)$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $𝐀$ des Feldes:

$𝐩=m\dot{𝐱}+q𝐀(t,𝐱)$

Relativistische Bewegung

• Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse $m_0$ in einem Potential $V(𝐱,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{𝐱}}^2}{c^2}}-V(𝐱,t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

$𝐩=\frac{m_0\dot{𝐱}}{\sqrt{1-\frac{{\dot{𝐱}}^2}{c^2}}}$

• Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung $q$ mit der Masse $m_0$ im elektromagnetischen Feld

$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{𝐱}}^2}{c^2}}-q\varphi (t,𝐱)+q\dot{𝐱}\cdot 𝐀(t,𝐱)$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

$𝐩=\frac{m_0\dot{𝐱}}{\sqrt{1-\frac{{\dot{𝐱}}^2}{c^2}}}+q𝐀(𝐱,t)$

Literatur

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